№357 1. \(\log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)<1\) ОДЗ: \(x-3>0\), \(x>3\); \(x-5>0\), \(x>5\).

Краткий ответ: \(x\in(5;\,8)\).

1. ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть положительными: \[ x-3>0,\qquad x-5>0. \] Отсюда \(x>3\) и \(x>5\), то есть \(x>5\).

2. При \(x>5\) оба аргумента положительны, поэтому сумму логарифмов можно свернуть: \[ \log_{15}(x-3)+\log_{15}(x-5)=\log_{15}\bigl((x-3)(x-5)\bigr). \] Получаем: \[ \log_{15}\bigl((x-3)(x-5)\bigr)<1. \] Так как \(1=\log_{15}15\), а основание \(15>1\), знак неравенства сохраняется: \[ (x-3)(x-5)<15. \]

3. Раскрываю скобки: \[ x^{2}-8x+15<15, \] \[ x^{2}-8x<0, \] \[ x(x-8)<0. \] Значит, \(0<x<8\).

4. Пересекаю с ОДЗ: \[ x>5 \quad\text{и}\quad 0<x<8. \] Поэтому: \[ 5<x<8. \]

Проверка границ: при \(x=5\) логарифм не определён; при \(x=8\) получается \(\log_{15}15=1\), а нужно строго меньше. Значит, концы не входят.

Ответ: \(\boxed{(5;8)}\).