реги подробно с рисунком
Сверь числа и знаки с фото.
Контрольная работа №1 «Теорема синусов и косинусов» Вариант 2
- Вычислить \(\sin\alpha\), если \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
- Найдите площадь треугольника ABC, стороны AC и AB соответственно равны 12,4 и 8 см, а углы B и C соответственно равны \(87^\circ\) и \(63^\circ\).
- В треугольнике ABC сторона AC равна 12 см, сторона BC равна \(8\sqrt{3}\) см, угол C равен \(30^\circ\). Найдите сторону AB.
- В треугольнике ABC сторона AC 12 см, угол A = \(45^\circ\), угол B = \(30^\circ\). Найдите сторону BC.
- В треугольнике ABC сторона AB=\(3\sqrt{3}\), угол C=\(60^\circ\). Найдите радиус описанной окружности R.
Краткие ответы
| № | Ответ |
|---|---|
| 1 | \(\sin\alpha=\frac{1}{2}=0{,}5\) |
| 2 | \(S=24{,}8\) см² |
| 3 | \(AB=4\sqrt{3}\) см \(\approx 6{,}93\) см |
| 4 | \(BC=12\sqrt{2}\) см \(\approx 16{,}97\) см |
| 5 | \(R=3\) см |
Дальше — подробный разбор. Рисунки схематичные: важны подписи вершин и данных.
1. Синус через косинус
Дано: \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Найти \(\sin\alpha\).
Основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}. \] Угол острый, поэтому \(\sin\alpha=\frac{1}{2}\).
Проверка: \(\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1\). ✓
Принцип: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), а знак синуса выбирают по четверти, в которой лежит угол.
2. Площадь треугольника
B
/ \
/ \
/ \
A-------C
Дано: \(AB=8\) см, \(AC=12{,}4\) см, \(\angle B=87^\circ\), \(\angle C=63^\circ\). Найти \(S\).
- Третий угол: \[ \angle A=180^\circ-87^\circ-63^\circ=30^\circ. \]
- Площадь через две стороны и угол между ними: \[ S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A =\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 12{,}4\cdot\frac{1}{2}=24{,}8. \]
Ответ: \(S=24{,}8\) см².
Проверка: \(8\cdot12{,}4=99{,}2\); \(99{,}2:2=49{,}6\); \(49{,}6:2=24{,}8\). ✓
Принцип: \(S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), где \(\gamma\) — угол между сторонами \(a\) и \(b\).
3. Сторона по теореме косинусов
B
/ \
/ \
/ \
A-------C
Дано: \(AC=12\) см, \(BC=8\sqrt{3}\) см, \(\angle C=30^\circ\). Найти \(AB\).
\[ AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos C \] \[ AB^2=12^2+(8\sqrt{3})^2-2\cdot12\cdot8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} =144+192-288=48. \] \[ AB=\sqrt{48}=4\sqrt{3}. \]
Ответ: \(AB=4\sqrt{3}\) см \(\approx6{,}93\) см.
Проверка: \(12^2+(4\sqrt{3})^2=144+48=192=(8\sqrt{3})^2\) — по теореме, обратной теореме Пифагора, угол \(A\) прямой. Тогда \(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{4\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\), то есть \(\angle C=30^\circ\), как и дано. ✓
Принцип: теорема косинусов связывает три стороны и угол между двумя из них.
4. Сторона по теореме синусов
B
/ \
/ \
/ \
A-------C
Дано: \(AC=12\) см, \(\angle A=45^\circ\), \(\angle B=30^\circ\). Найти \(BC\).
Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\), сторона \(BC\) — против угла \(A\). \[ \frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}, \] \[ BC=\frac{AC\cdot\sin A}{\sin B} =\frac{12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=12\sqrt{2}. \]
Ответ: \(BC=12\sqrt{2}\) см \(\approx16{,}97\) см.
Проверка: \(\frac{BC}{\sin45^\circ}=\frac{12\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=24\) и \(\frac{AC}{\sin30^\circ}=\frac{12}{\frac{1}{2}}=24\). ✓
Принцип: в треугольнике \(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\); против большего угла лежит большая сторона.
5. Радиус описанной окружности
_.-'''''-._
.' B '.
/ / \ \
/ / \ \
| A-------C |
\ /
'._ _.'
'-.______.-'
Дано: \(AB=3\sqrt{3}\), \(\angle C=60^\circ\). Найти \(R\).
Расширенная теорема синусов: \[ \frac{AB}{\sin C}=2R, \] \[ R=\frac{AB}{2\sin C}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=3. \]
Ответ: \(R=3\) см.
Проверка: \(2R=6\); \(\frac{AB}{\sin60^\circ}=\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=6\). ✓
Принцип: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности.
Что запомнить
- площадь: \(S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\);
- теорема косинусов: \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\);
- теорема синусов: \(\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\);
- радиус описанной окружности: \(\frac{a}{\sin\alpha}=2R\).
