Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0

Краткий ответ: \(x_{1} = 2\), \(x_{2} = 3\).

Ключевая идея: разложить на множители

Уравнение \(x^{2} - 5x + 6 = 0\) — квадратное. Его левую часть можно записать как произведение двух скобок:

\[ x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \]

Как найти эти числа? Нужны два числа, у которых:

• сумма равна \(5\) (числу с минусом перед \(x\)),
• произведение равно \(6\) (свободному члену).

Подходят \(2\) и \(3\): \(2 + 3 = 5\), \(2 \cdot 3 = 6\).

Почему отсюда сразу корни

Произведение равно нулю только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:

\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \;\Rightarrow\; x - 2 = 0 \ \text{или}\ x - 3 = 0 \]

Значит, \(x = 2\) или \(x = 3\).

Проверка подстановкой

• При \(x = 2\): \(2^{2} - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✓
• При \(x = 3\): \(3^{2} - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✓

Оба значения обращают уравнение в верное равенство, значит, ответ верный.

Как действовать в похожем задании: ищи два числа с нужными суммой и произведением, раскладывай на скобки, приравнивай каждую скобку к нулю и проверяй корни подстановкой. Это тот же приём, что и теорема Виета, только записанный коротко.