1. Напишите наименьшее натуральное число x, для которого истинно высказывание:

Краткие ответы:

1. \(4\)
2. \(9\)
3. \(5\)
4. \(3\)
5. \(5\)
6. \(7\)
7. \(36\)

Ход решения:

1. \[ ((x>3)\land \neg(x<4))\lor(x<1) \] \(\neg(x<4)\) означает \(x\ge4\), поэтому первая скобка даёт \(x\ge4\). Условие \(x<1\) для натуральных чисел не выполняется. Наименьшее подходящее число — \(4\).

2. \[ \neg(x\ge15)\land\neg(x<8) \] Это \(x<15\) и \(x\ge8\), то есть \(8\le x<15\). Нужно нечётное, наименьшее из них — \(9\).

3. \[ \neg(x<5)\land(x<6) \] Получаем \(x\ge5\) и \(x<6\). Единственное натуральное число — \(5\).

4. Выражение должно быть ложным. Берём отрицание: \[ \neg\bigl((x>3)\lor\neg(x>2)\bigr)=(x\le3)\land(x>2). \] Отсюда \(2<x\le3\), значит \(x=3\).

5. Выражение ложно, когда: \[ (x<6)\land\bigl((x\ge5)\lor(x<4)\bigr). \] Подходят натуральные \(1,2,3,5\). Наибольшее — \(5\).

6. Ложность означает: \[ (x<8)\land(x\ge7). \] Единственное натуральное число — \(7\).

7. Двузначных чисел всего \(90\), нечётных из них \(45\). Нечётные числа, кратные \(5\), — это \(15,25,\ldots,95\), их \(9\). Значит: \[ 45-9=36. \]

Ответы для бланка: 1) 4; 2) 9; 3) 5; 4) 3; 5) 5; 6) 7; 7) 36.

Хорошо, переписал словами, без логических значков.

Ответы:

1. 4
2. 9
3. 5
4. 3
5. 5
6. 7
7. 36

Как рассуждать:

1. Первое условие означает: число больше 3 и при этом не меньше 4. Значит, число не меньше 4. Второе условие «число меньше 1» для натуральных чисел невозможно. Наименьшее подходящее число — 4.

2. «НЕ (число не меньше 15)» означает «число меньше 15». «НЕ (число меньше 8)» означает «число не меньше 8». Получаем числа от 8 до 14. Наименьшее нечётное среди них — 9.

3. «НЕ (число меньше 5)» означает «число не меньше 5». Вместе с условием «число меньше 6» подходит только 5.

4. Нужно, чтобы всё высказывание было ложным. Первая часть «число больше 3» тогда ложна: число не больше 3. Вторая часть «НЕ (число больше 2)» тоже должна быть ложна: число больше 2. Значит, число больше 2, но не больше 3. Это 3.

5. Уточнение: выражение истинно при числах 1, 2, 3, 4 и 5. Наибольшее из них — 5.

6. Чтобы «ИЛИ» было ложным, обе его части должны быть ложны. Первая часть ложна, когда число меньше 8. Вторая часть ложна, когда число не меньше 7. Вместе подходит только 7.

7. Двузначных нечётных чисел всего 45. Нечётные числа, которые делятся на 5, оканчиваются на 5: это 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. Их 9. Остаётся 45 минус 9, то есть 36.

Перед скобкой стоял знак \(\neg\). Это логическое «НЕ», то есть отрицание. Он читается так:
\[ \neg(A)=\text{НЕ } A=\text{«неверно, что } A\text{»}. \]

Он относится ко всему выражению в скобках. Например:

\[ \neg(x<4)=\text{НЕ}(x<4), \] то есть \(x\) не меньше \(4\), значит \(x\ge4\).

\[ \neg\bigl((x>3)\lor\neg(x>2)\bigr) = \text{НЕ}\bigl((x>3)\ \text{ИЛИ}\ \text{НЕ}(x>2)\bigr). \]

Здесь маленький знак \(\neg\) перед большой скобкой означает: отрицается всё выражение внутри этой скобки.

Ещё два знака из записи:

• \(\land\) — «И»;
• \(\lor\) — «ИЛИ».

Вот те же записи со скобками:

1. \[ ((x>3)\land\neg(x<4))\lor(x<1) \] Читается: \(((x>3)\ \text{И}\ \text{НЕ}(x<4))\ \text{ИЛИ}\ (x<1)\).

2. \[ \neg(x\ge15)\land\neg(x<8) \] Читается: \(\text{НЕ}(x\ge15)\ \text{И}\ \text{НЕ}(x<8)\).

3. \[ \neg(x<5)\land(x<6) \] Читается: \(\text{НЕ}(x<5)\ \text{И}\ (x<6)\).

4. \[ \neg\bigl((x>3)\lor\neg(x>2)\bigr) \] Читается: \(\text{НЕ}\Bigl((x>3)\ \text{ИЛИ}\ \text{НЕ}(x>2)\Bigr)\). Знак \(\neg\) перед большой скобкой отрицает всю эту скобку целиком.

5. \[ \neg(x<8)\lor(x<7) \] Читается: \(\text{НЕ}(x<8)\ \text{ИЛИ}\ (x<7)\).

Да, разберу 4, 5 и 7. Напоминание: знак \(\neg\) перед скобкой — это «НЕ», и он относится ко всей скобке целиком, а не только к первому числу.

№4

Выражение:

\[ \neg\bigl((x>3)\ \text{ИЛИ}\ \neg(x>2)\bigr) \]

Сначала разберём внутреннюю скобку.

\[ \neg(x>2) \]

означает «НЕ (x больше 2)», то есть:

\[ x\le 2. \]

Теперь применяем правило:

\[ \neg(A\ \text{ИЛИ}\ B)=(\text{НЕ }A)\ \text{И}\ (\text{НЕ }B). \]

Получаем:

\[ (x\le 3)\ \text{И}\ (x>2). \]

То есть число больше 2, но не больше 3. Среди натуральных чисел подходит только:

\[ x=3. \]

Ответ №4: 3.

Проверка: при \(x=3\) обе части внутри скобки ложны, значит «НЕ» делает всё выражение истинным.

№5

Выражение:

\[ \neg(x<6)\ \text{ИЛИ}\ \bigl((x<5)\ \text{И}\ (x\ge4)\bigr). \]

Нужно найти, когда оно ложно. Чтобы «ИЛИ» было ложным, обе его части должны быть ложны. После отрицания получаем условие ложности:

\[ (x<6)\ \text{И}\ \bigl((x\ge5)\ \text{ИЛИ}\ (x<4)\bigr). \]

Натуральные \(x<6\) — это:

\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5. \]

Теперь проверяем вторую часть:

• \(x<4\): подходят \(1,2,3\);
• \(x\ge5\): из чисел меньше 6 подходит только \(5\);
• \(x=4\) не подходит ни под одно условие.

Значит, выражение ложно при:

\[ x=1,\ 2,\ 3,\ 5. \]

Наибольшее из них — 5.

Ответ №5: 5.

Небольшое исправление: в прошлом сообщении я в одном месте перепутал «истинно/ложно». Для этого выражения оно ложно при \(1,2,3,5\), а истинно, например, при \(x=4\) и при \(x\ge6\).

№7

Считаем двузначные нечётные числа, которые не кратны 5.

Сначала все двузначные нечётные числа:

\[ 11,\ 13,\ 15,\ \ldots,\ 99. \]

Их столько же, сколько нечётных чисел от 1 до 99, кроме однозначных. Проще так: среди двузначных чисел от 10 до 99 всего 90 чисел, половина нечётных:

\[ 90:2=45. \]

Теперь найдём нечётные двузначные числа, кратные 5. Нечётное число, кратное 5, оканчивается на 5:

\[ 15,\ 25,\ 35,\ 45,\ 55,\ 65,\ 75,\ 85,\ 95. \]

Их 9.

Значит, нечётных двузначных чисел, не кратных 5:

\[ 45-9=36. \]

Ответ №7: 36.