реши фото

Question

реши фото

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа № 1 по теме:
«Векторы. Декартовы координаты на плоскости», 9 класс.
Вариант 1.

1. $KMNP$ — параллелограмм. Укажите вектор, равный сумме векторов $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{MN}$.

1. $\overrightarrow{KN}$ 2) $\overrightarrow{NK}$ 3) $\overrightarrow{MP}$ 4) $\overrightarrow{PM}$

2. На рисунке $ABCD$ — прямоугольник. Укажите верные равенства:
[Рисунок: прямоугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$; $A$ — нижний левый, $B$ — верхний левый, $C$ — верхний правый, $D$ — нижний правый.]

1. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{CO}$ 4) $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$

2. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ 5) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$

3. $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ 6) $\overrightarrow{OD}=0,5\overrightarrow{BD}$
Задание 3. Даны точки $A(-3;3)$ и $B(5;-3)$. Найдите:
а) координаты вектора $\overrightarrow{AB}$;
б) длину вектора $\overrightarrow{AB}$.
Задание 4. Даны векторы $\vec{a}\{12;6\}$, $\vec{b}\{-1;7\}$. Найдите координаты векторов $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{d}=2\vec{b}-\vec{a}$.
Задание 5. Найдите координаты середины отрезка с концами $A(2;3)$ и $B(4;-5)$
Задание 6*. Треугольник $ABC$ задан координатами вершин $A(-4;0)$, $B(4;0)$, $C(0;2)$. Найдите длину медианы $AK$ треугольника.

Answer

Краткие ответы

1. Вариант 3: $\overrightarrow{MP}$.

2. Верные равенства: 3, 4, 6.

3. а) $\overrightarrow{AB}=(8;-6)$; б) $|\overrightarrow{AB}|=10$.

4. $\vec c=(11;13)$, $\vec d=(-14;8)$.

5. Середина отрезка: $(3;-1)$.

6. $AK=\sqrt{37}$.

Как решается

1. Векторы $\overrightarrow{MK}$ и $\overrightarrow{MN}$ имеют общее начало $M$. По правилу параллелограмма их сумма — диагональ, выходящая из $M$, то есть $\overrightarrow{MP}$.

2. Равные векторы должны быть сонаправлены и иметь одинаковую длину:

$\overrightarrow{AO}$ и $\overrightarrow{CO}$ противоположно направлены;

$\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ не параллельны;

диагонали прямоугольника равны: $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|$ — верно;

$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$ — верно;

$\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ противоположно направлены;

$O$ — середина $BD$, поэтому $\overrightarrow{OD}=0{,}5\overrightarrow{BD}$ — верно.

3. Координаты вектора:
$$
\overrightarrow{AB}=(5-(-3);\,-3-3)=(8;-6)
$$
Длина:
$$
|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{8^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=10
$$

4. Складываем и умножаем векторы покоординатно:
$$
\vec c=\vec a+\vec b=(12+(-1);\,6+7)=(11;13)
$$
$$
\vec d=2\vec b-\vec a=(-2;14)-(12;6)=(-14;8)
$$

5. Координаты середины — среднее арифметическое координат концов:
$$
M\left(\frac{2+4}{2};\,\frac{3+(-5)}{2}\right)=(3;-1)
$$

6. Медиана $AK$ идёт к середине $BC$. Находим $K$:
$$
K\left(\frac{4+0}{2};\,\frac{0+2}{2}\right)=(2;1)
$$
Тогда
$$
AK=\sqrt{(2-(-4))^2+(1-0)^2}
=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}
$$

Проверка: в № 3 сумма квадратов координат равна $64+36=100$, поэтому длина $10$; в № 5 точка $(3;-1)$ одинаково удалена от $A$ и $B$; в № 6 квадрат медианы равен $36+1=37$.