Билет 10. 1. Зависимость координаты тела от времени имеет вид x = 20 − 6t + 2t². Через сколько секунд после начала отсчёта скорость тела станет равна нулю?
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Экз. 3 Билет 10
- Зависимость координаты тела от времени имеет вид \(x = 20 - 6t + 2t^{2}\). Через сколько секунд после начала отсчёта скорость тела станет равна нулю?
- Маховик из состояния покоя начал вращаться равноускоренно и, сделав 40 оборотов, достиг угловой частоты 8 об/с. Определить угловое ускорение и время движение.
- Автомобиль массой 1 т, двигаясь равнозамедленно, остановился через 5 с, пройдя путь 25 м. Найти силу торможения.
- При вертикальном подъёме тела массой 2 кг на высоту 10 м была совершена работа 240 Дж. С каким ускорением двигалось тело?
Краткие ответы
- \(t=1{,}5\) с.
- \(t=10\) с; \(\varepsilon=0{,}8\) об/с² \(=1{,}6\pi\) рад/с² \(\approx5{,}0\) рад/с².
- \(F_{\text{торм}}=2000\) Н \(=2\) кН.
- \(a\approx2{,}2\) м/с² при \(g=9{,}8\) м/с²; если округлять \(g\) до \(10\), то \(a=2{,}0\) м/с². Ускорение направлено вверх.
1. Когда скорость станет нулю
Скорость — это производная координаты по времени:
\[ v(t)=x'(t)=(20-6t+2t^2)'=-6+4t. \]
Приравниваем скорость к нулю:
\[ -6+4t=0,\qquad t=\frac{6}{4}=1{,}5\ \text{с}. \]
Проверка: при \(t<1{,}5\) скорость отрицательна, при \(t>1{,}5\) положительна, значит, в этот момент тело действительно останавливается.
2. Маховик
При равноускоренном вращении из состояния покоя средняя угловая скорость равна половине конечной:
\[ \omega_{\text{ср}}=\frac{0+8}{2}=4\ \text{об/с}. \]
За 40 оборотов:
\[ t=\frac{40}{4}=10\ \text{с}. \]
Угловое ускорение:
\[ \varepsilon=\frac{\omega-\omega_0}{t}=\frac{8}{10}=0{,}8\ \text{об/с}^2. \]
В радианах:
\[ \varepsilon=0{,}8\cdot2\pi=1{,}6\pi\ \text{рад/с}^2\approx5{,}0\ \text{рад/с}^2. \]
Проверка: \(\varphi=\frac{\varepsilon t^2}{2}=0{,}8\cdot\frac{100}{2}=40\) оборотов.
3. Сила торможения автомобиля
Средняя скорость при равнозамедленном движении:
\[ v_{\text{ср}}=\frac{s}{t}=\frac{25}{5}=5\ \text{м/с}. \]
Так как конечная скорость равна нулю, начальная скорость:
\[ v_0=2v_{\text{ср}}=10\ \text{м/с}. \]
Ускорение:
\[ a=\frac{0-10}{5}=-2\ \text{м/с}^2. \]
Масса \(1\) т \(=1000\) кг, поэтому сила торможения:
\[ F=m|a|=1000\cdot2=2000\ \text{Н}=2\ \text{кН}. \]
Она направлена противоположно движению.
4. Ускорение при вертикальном подъёме
Считаем, что \(240\) Дж — работа силы, поднимающей тело:
\[ A=Fh \quad\Rightarrow\quad F=\frac{240}{10}=24\ \text{Н}. \]
По второму закону Ньютона:
\[ F-mg=ma. \]
Отсюда:
\[ a=\frac{F}{m}-g=\frac{24}{2}-g=12-g. \]
Если \(g=9{,}8\) м/с²:
\[ a=12-9{,}8=2{,}2\ \text{м/с}^2. \]
Если в курсе принято \(g=10\) м/с², то:
\[ a=2\ \text{м/с}^2. \]
Направление — вверх, потому что поднимающая сила больше силы тяжести.
