Задание 1. По результатам исследования цен некоторого товара в 30 различных торговых точках города получены следующие результаты (таблица 5).
Реши
Сверь числа и знаки с фото.
Задание 1. По результатам исследования цен некоторого товара в 30 различных торговых точках города получены следующие результаты (таблица 5). Таблица 5 Цена (тыс. руб.) | 6,4 | 6,9 | 6,0 | 6,3 | 5,9 | 4,7 | 4,3 | 5,5 | 6,1 | 7,0 Цена (тыс. руб.) | 3,6 | 4,2 | 6,9 | 3,5 | 4,6 | 6,6 | 7,0 | 7,4 | 7,8 | 4,8 Цена (тыс. руб.) | 6,6 | 7,5 | 5,1 | 3,6 | 6,6 | 6,6 | 7,7 | 3,2 | 4,8 | ___ Составьте эмпирический закон распределения с помощью интервалов. По данным выборки найдите выборочные оценки случайной величины p — цена товара: среднее выборочное, дисперсию и частоты. Найдите выборочную дисперсию. Задание 2. Фирма занимается грузоперевозками. В её парке 20 автомобилей. В течение одного из рабочих дней фиксируется пробег каждого автомобиля. Данные представлены в таблице 6. Таблица 6 Пробег автомобиля (км) | 40–60 | 60–80 | 80–100 | 100–120 | 120–140 | 140–160 | 160–180 | 180–200 Число поездок | 2 | 5 | 3 | 4 | 3 | 1 | 1 | 1 По данным выборки найдите выборочные оценки случайной величины X — суточный пробег автомобиля (км): среднее выборочное, дисперсию и частоты. Найдите выборочную дисперсию. Задание 3. Два эксперта независимо друг от друга определяют цену автомобиля одной и той же марки, года выпуска и комплектации. Для этого составляется выборка объёма n = 10 из предлагаемых на рынке автомобилей с данными характеристиками. Выборочные значения даны в таблицах 7 и 8. Таблица 7 Номер опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 Цена (тыс. руб.) | 530 | 555 | 875 | 610 | 615 | 635 | 795 | 700 | 680 | 780 Таблица 8 Номер опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 Цена (тыс. руб.) | 630 | 755 | 810 | 710 | 815 | 635 | 790 | 720 | 780 | 780 По данным выборок найдите оценки случайной величины p — цена на автомобиль с заданными характеристиками: среднее выборочное и дисперсию. Найдите выборочную дисперсию.
Кратко: задачи 2 и 3 читаются полностью, а в таблице 5 на фото видно только 29 цен — последняя клетка третьей строки пустая, хотя в условии сказано про 30 точек. Поэтому по заданию 1 ниже считаю по 29 видимым значениям и даю формулу для добавления 30-го.
Что использовать
Для дискретной выборки: \[ \bar x=\frac{1}{n}\sum x_i n_i,\qquad D=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar x)^2n_i=\frac{1}{n}\sum x_i^2n_i-\bar x^2. \] Здесь \(D\) — выборочная дисперсия с делением на \(n\). Если нужна несмещённая оценка, её часто называют исправленной: \[ s^2=\frac{n}{n-1}D. \] Относительная частота: \(w_i=\frac{n_i}{n}\).
Если даны интервалы, вместо \(x_i\) берут середины интервалов — это приближение.
Задание 1
Уточните, пожалуйста, какое число стоит в последней клетке таблицы 5: без него точный ответ по заданию 1 получить нельзя.
По 29 видимым значениям: \[ S=167{,}2,\qquad Q=\sum x_i^2=1017{,}40. \]
Размах видимых данных: от \(3{,}2\) до \(7{,}8\). Для \(n\approx30\) по правилу Стёрджеса удобно взять 6 интервалов, шаг примерно \(0{,}8\):
| Интервал | Абсолютная частота \(n_i\) | Относительная частота \(w_i\) |
|---|---|---|
| \(3{,}2\)–\(4{,}0\) | 4 | \(4/29\approx0{,}138\) |
| \(4{,}0\)–\(4{,}8\) | 4 | \(0{,}138\) |
| \(4{,}8\)–\(5{,}6\) | 4 | \(0{,}138\) |
| \(5{,}6\)–\(6{,}4\) | 4 | \(0{,}138\) |
| \(6{,}4\)–\(7{,}2\) | 9 | \(9/29\approx0{,}310\) |
| \(7{,}2\)–\(8{,}0\) | 4 | \(0{,}138\) |
Это распределение для 29 видимых значений. Если 30-е число равно \(a\), то одна из частот увеличится на 1, а все \(w_i\) надо будет пересчитать при \(n=30\).
Среднее по 29 видимым значениям: \[ \bar p=\frac{167{,}2}{29}\approx5{,}7655\approx5{,}77. \]
Выборочная дисперсия: \[ D=\frac{1017{,}40}{29}-\left(\frac{167{,}2}{29}\right)^2 \approx1{,}8416. \]
Исправленная выборочная дисперсия: \[ s^2=\frac{29}{28}D\approx1{,}9073. \]
То есть по 29 видимым значениям: \[ \boxed{\bar p\approx5{,}77\text{ тыс. руб.},\quad D\approx1{,}84\ (\text{тыс. руб.})^2,\quad s^2\approx1{,}91\ (\text{тыс. руб.})^2.} \]
Если 30-е значение равно \(a\), то: \[ \bar p=\frac{167{,}2+a}{30}, \] \[ D=\frac{1017{,}40+a^2}{30}-\left(\frac{167{,}2+a}{30}\right)^2, \qquad s^2=\frac{30}{29}D. \]
Если считать по серединам выбранных интервалов, для 29 видимых значений получится приближённо \(\bar p\approx5{,}81\), \(D\approx1{,}75\). Это нормальное приближение интервального ряда.
Задание 2
Середины интервалов: \[ 50,\ 70,\ 90,\ 110,\ 130,\ 150,\ 170,\ 190. \]
Частоты и относительные частоты:
\[ \begin{array}{c|cccccccc} x_i^* & 50 & 70 & 90 & 110 & 130 & 150 & 170 & 190\\ \hline n_i & 2 & 5 & 3 & 4 & 3 & 1 & 1 & 1\\ w_i & 0{,}10 & 0{,}25 & 0{,}15 & 0{,}20 & 0{,}15 & 0{,}05 & 0{,}05 & 0{,}05 \end{array} \]
Сумма частот \(2+5+3+4+3+1+1+1=20\), сумма относительных частот равна 1.
Средний пробег: \[ \bar X=\frac{2\cdot50+5\cdot70+3\cdot90+4\cdot110+3\cdot130+1\cdot150+1\cdot170+1\cdot190}{20} =\frac{2060}{20}=103. \]
Дисперсия: \[ D=\frac{2\cdot50^2+5\cdot70^2+3\cdot90^2+4\cdot110^2+3\cdot130^2+1\cdot150^2+1\cdot170^2+1\cdot190^2}{20}-103^2. \] \[ D=\frac{240400}{20}-10609=12020-10609=1411. \]
Исправленная выборочная дисперсия: \[ s^2=\frac{20}{19}\cdot1411\approx1485{,}26. \]
Ответ: \[ \boxed{\bar X=103\text{ км},\quad D=1411\text{ км}^2,\quad s^2\approx1485{,}26\text{ км}^2.} \]
Задание 3
Таблица 7
Сумма цен: \[ 530+555+875+610+615+635+795+700+680+780=6775. \] Среднее: \[ \bar p_1=\frac{6775}{10}=677{,}5. \]
Сумма квадратов цен: \[ \sum p_i^2=4\,700\,925. \] Дисперсия: \[ D_1=\frac{4\,700\,925}{10}-677{,}5^2 =470\,092{,}5-459\,006{,}25=11\,086{,}25. \]
Исправленная: \[ s_1^2=\frac{10}{9}D_1\approx12\,318{,}06. \]
Таблица 8
Сумма цен: \[ 630+755+810+710+815+635+790+720+780+780=7425. \] Среднее: \[ \bar p_2=\frac{7425}{10}=742{,}5. \]
Сумма квадратов: \[ \sum p_i^2=5\,553\,875. \] Дисперсия: \[ D_2=\frac{5\,553\,875}{10}-742{,}5^2 =555\,387{,}5-551\,306{,}25=4\,081{,}25. \]
Исправленная: \[ s_2^2=\frac{10}{9}D_2\approx4\,534{,}72. \]
Ответ по таблице 7: \[ \boxed{\bar p_1=677{,}5\text{ тыс. руб.},\quad D_1=11\,086{,}25,\quad s_1^2\approx12\,318{,}06.} \]
Ответ по таблице 8: \[ \boxed{\bar p_2=742{,}5\text{ тыс. руб.},\quad D_2=4\,081{,}25,\quad s_2^2\approx4\,534{,}72.} \]
У второго эксперта средняя цена выше, но разброс оценок меньше.
