Урок 5 (задания к уроку) Вычислить предел функции:

На изображении восемь пределов. Краткие ответы:

Общая схема: сначала подставляем значение; если получаем \(0/0\), раскладываем на множители или домножаем на сопряжённое; если получаем \(1^{\infty}\), используем второй замечательный предел.

Ключевые шаги

1. При \(x=1\) имеем \(0/0\). Раскладываем: \[ \frac{5x^2-2x-3}{x^2-1} =\frac{(x-1)(5x+3)}{(x-1)(x+1)} \to \frac{8}{2}=4. \]

2. При \(x\to3\): \[ 5x^2-12\to 33,\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2\to 0+. \] Поэтому предел равен \(+\infty\).

3. Так как \[ \cos(\pi-x)=-\cos x,\qquad \operatorname{ctg}9x=\frac{\cos9x}{\sin9x}, \] то выражение ведёт себя как \(-\dfrac{1}{9x}\). Справа и слева получаются разные бесконечные знаки, поэтому двустороннего предела нет.

4. Второй замечательный предел: \[ (1+\sin x)^{\frac{12}{\sin x}} =\left((1+\sin x)^{\frac1{\sin x}}\right)^{12} \to e^{12}. \]

5. Домножаем на сопряжённые: \[ \frac{\sqrt{x+5}-3}{\sqrt{x}-2} =\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+5}+3} \to \frac{2+2}{3+3}=\frac23. \]

6. \[ \left(\frac{x+3}{x}\right)^{5x} =\left(1+\frac3x\right)^{5x} =\left[\left(1+\frac3x\right)^{x/3}\right]^{15} \to e^{15}. \]

7. Здесь неопределённости нет: \[ (2+5x)^{\frac1{2(5x+1)}} \to 2^{1/2}=\sqrt2. \]

8. \[ \left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^{x^2+2} =\left(1+\frac1{x^2}\right)^{x^2+2} =\left(1+\frac1{x^2}\right)^{x^2} \left(1+\frac1{x^2}\right)^2 \to e\cdot1=e. \]