Задание 1. По результатам исследования цен некоторого товара в 30 различных торговых точках города получены следующие результаты (таблица 5).

На фото три задания — ниже решаю все. Для интервальных рядов беру середины интервалов. Обозначения: \(n_i\) — частота, \(w_i=\frac{n_i}{n}\) — относительная частота.

Коротко

1. Таблица 5: \(\bar x\approx5{,}90\) тыс. руб., \(D_в\approx1{,}84\), \(s^2\approx1{,}90\).
2. Таблица 6: \(\bar x=103\) км, \(D_в=1411\), \(s^2=1485{,}26\).
3. Таблица 7: \(\bar x=677{,}5\) тыс. руб., \(D_в=11086{,}25\), \(s^2=12318{,}06\).
   Таблица 8: \(\bar x=742{,}5\) тыс. руб., \(D_в=4081{,}25\), \(s^2=4534{,}72\).

Здесь \(D_в\) — выборочная дисперсия со знаменателем \(n\), а \(s^2\) — исправленная, несмещённая оценка: \[ D_в=\frac1n\sum n_i(x_i-\bar x)^2,\qquad s^2=\frac{n}{n-1}D_в. \]

---

Задание 1

Возьмём интервалы длиной 1: \([3;4), [4;5), [5;6), [6;7), [7;8)\).

Интервал	Середина \(x_i\)	Частота \(n_i\)	\(w_i\)
3–4	3,5	3	0,100
4–5	4,5	7	0,233
5–6	5,5	3	0,100
6–7	6,5	9	0,300
7–8	7,5	8	0,267

Сумма частот: \(3+7+3+9+8=30\).

\[ \bar x=\frac{3\cdot3{,}5+7\cdot4{,}5+3\cdot5{,}5+9\cdot6{,}5+8\cdot7{,}5}{30}=5{,}9. \]

\[ D_в\approx \frac{3(3{,}5-5{,}9)^2+7(4{,}5-5{,}9)^2+\dots+8(7{,}5-5{,}9)^2}{30} =1{,}84. \]

Тогда \[ s^2=\frac{30}{29}\cdot1{,}84\approx1{,}90. \]

Если считать не по серединам интервалов, а по исходным 30 числам, получается точнее: \[ \bar x=\frac{177{,}1}{30}=5{,}9033, \] \[ D_в=1{,}7843,\qquad s^2=1{,}8459. \]

---

Задание 2

Середины интервалов: \(50,70,90,110,130,150,170,190\).

Интервал	40–60	60–80	80–100	100–120	120–140	140–160	160–180	180–200
\(n_i\)	2	5	3	4	3	1	1	1
\(w_i\)	0,10	0,25	0,15	0,20	0,15	0,05	0,05	0,05

Сумма частот: \(20\).

\[ \bar x= \frac{2\cdot50+5\cdot70+3\cdot90+4\cdot110+3\cdot130+150+170+190}{20} =103. \]

\[ D_в= \frac{240400}{20}-103^2 =12020-10609 =1411. \]

\[ s^2=\frac{20}{19}\cdot1411\approx1485{,}26. \]

---

Задание 3

Для каждой выборки: \[ \bar x=\frac1n\sum x_i,\qquad D_в=\frac1n\sum x_i^2-\bar x^2. \]

Таблица 7

\[ \sum x_i=6775,\qquad \bar x_7=677{,}5. \]

\[ D_{в7}= \frac{4700925}{10}-677{,}5^2 =470092{,}5-459006{,}25 =11086{,}25. \]

\[ s_7^2=\frac{10}{9}\cdot11086{,}25\approx12318{,}06. \]

Таблица 8

\[ \sum x_i=7425,\qquad \bar x_8=742{,}5. \]

\[ D_{в8}= \frac{5553875}{10}-742{,}5^2 =555387{,}5-551306{,}25 =4081{,}25. \]

\[ s_8^2=\frac{10}{9}\cdot4081{,}25\approx4534{,}72. \]

Второй эксперт в среднем дал цену выше на \(65\) тыс. руб., но его оценки менее разбросаны: дисперсия меньше.

---

Что запомнить: при интервальной группировке каждое значение заменяют серединой интервала, умножают на частоту и делят на объём выборки. Дисперсия — это средний квадрат отклонения от среднего. Если нужна несмещённая оценка, выборочную дисперсию умножают на \(\frac{n}{n-1}\).