Реши подробно с правилом Крамера только 20 и 26

Краткий ответ

\[ \text{№20: }(x_1;x_2;x_3)=(2;1;2),\qquad \text{№26: }(x_1;x_2;x_3)=(2;2;3). \]

Правило Крамера. Для системы \(Ax=b\) сначала считают главный определитель \(\Delta=\det A\). Если \(\Delta\neq0\), то

\[ x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\qquad x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\qquad x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}. \]

Определитель \(\Delta_i\) получается заменой \(i\)-го столбца на столбец свободных членов. При раскрытии определителя по первой строке знаки чередуются: \(+,-\),+).

---

№20

\[ \begin{cases} 3x_1+2x_2+x_3=10,\\ x_1-3x_2+2x_3=3,\\ 2x_1+x_2-3x_3=-1. \end{cases} \]

Главный определитель:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 3&2&1\\ 1&-3&2\\ 2&1&-3 \end{vmatrix} =3(9-2)-2(-3-4)+1(1+6)=42. \]

Так как \(\Delta\neq0\), решение существует и единственно.

\[ \Delta_1= \begin{vmatrix} 10&2&1\\ 3&-3&2\\ -1&1&-3 \end{vmatrix} =10(9-2)-2(-9+2)+1(3-3)=84. \]

\[ \Delta_2= \begin{vmatrix} 3&10&1\\ 1&3&2\\ 2&-1&-3 \end{vmatrix} =3(-9+2)-10(-3-4)+1(-1-6)=42. \]

\[ \Delta_3= \begin{vmatrix} 3&2&10\\ 1&-3&3\\ 2&1&-1 \end{vmatrix} =3(3-3)-2(-1-6)+10(1+6)=84. \]

Отсюда:

\[ x_1=\frac{84}{42}=2,\qquad x_2=\frac{42}{42}=1,\qquad x_3=\frac{84}{42}=2. \]

Ответ №20: \((2;1;2)\).

---

№26

\[ \begin{cases} x_1+2x_2-x_3=3,\\ 4x_1-x_2+2x_3=12,\\ 2x_1+3x_2+x_3=13. \end{cases} \]

Главный определитель:

\[ \Delta= \begin{vmatrix} 1&2&-1\\ 4&-1&2\\ 2&3&1 \end{vmatrix} =1(-1-6)-2(4-4)+(-1)(12+2)=-21. \]

\[ \Delta_1= \begin{vmatrix} 3&2&-1\\ 12&-1&2\\ 13&3&1 \end{vmatrix} =3(-1-6)-2(12-26)+(-1)(36+13)=-42. \]

\[ \Delta_2= \begin{vmatrix} 1&3&-1\\ 4&12&2\\ 2&13&1 \end{vmatrix} =1(12-26)-3(4-4)+(-1)(52-24)=-42. \]

\[ \Delta_3= \begin{vmatrix} 1&2&3\\ 4&-1&12\\ 2&3&13 \end{vmatrix} =1(-13-36)-2(52-24)+3(12+2)=-63. \]

Тогда:

\[ x_1=\frac{-42}{-21}=2,\qquad x_2=\frac{-42}{-21}=2,\qquad x_3=\frac{-63}{-21}=3. \]

Ответ №26: \((2;2;3)\).

---

Проверка

Для №20:

\[ 3\cdot2+2\cdot1+2=10, \] \[ 2-3\cdot1+2\cdot2=3, \] \[ 2\cdot2+1-3\cdot2=-1. \]

Для №26:

\[ 2+2\cdot2-3=3, \] \[ 4\cdot2-2+2\cdot3=12, \] \[ 2\cdot2+3\cdot2+3=13. \]

Обе системы решены верно. Если \(\Delta=0\), правило Крамера в таком виде уже не применяется — нужен другой способ исследования системы.