Задание 1. Вычислите: 1) 2⁻³ + 3⁰ − 4⁻¹ = 2) (1/3)⁻² · 9⁻¹ = 3) (−5)⁻² · 25 =

Краткий ответ

1. \(2^{-3}+3^{0}-4^{-1}=\dfrac{7}{8}\)
2. \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\cdot 9^{-1}=1\)
3. \((-5)^{-2}\cdot 25=1\)

Главное правило

Отрицательная степень «переворачивает» число, но не делает его отрицательным:

\[a^{-n}=\frac{1}{a^{n}},\qquad a^{0}=1\ (a\neq 0),\qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^{n}\]

Шаги решения

1) \(2^{-3}+3^{0}-4^{-1}=\dfrac{1}{2^{3}}+1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}+1-\dfrac{1}{4}\)

Приводим к знаменателю 8:

\[\frac{1}{8}+\frac{8}{8}-\frac{2}{8}=\frac{7}{8}\]

2) \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}\cdot 9^{-1}=3^{2}\cdot\dfrac{1}{9}=9\cdot\dfrac{1}{9}=1\)

Здесь дробь \(\frac{1}{3}\) перевернулась в \(3\), а степень стала положительной.

3) \((-5)^{-2}\cdot 25=\dfrac{1}{(-5)^{2}}\cdot 25=\dfrac{1}{25}\cdot 25=1\)

Минус у основания «съедается» чётной степенью: \((-5)^2=25\).

Проверка

• \(0{,}125+1-0{,}25=0{,}875=\frac{7}{8}\) ✓
• \(9\cdot\frac{1}{9}=1\) ✓
• \(\frac{25}{25}=1\) ✓

Общая логика такая: сначала избавляемся от отрицательного показателя (переворачиваем основание), затем считаем обычные степени и выполняем действия.