3) lim x→0 cos(π−x)·ctg 9x

На фото номера 3–8 — решу все.

Краткие ответы: 3) двустороннего предела нет: при \(x\to0^+\) будет \(-\infty\), при \(x\to0^-\) будет \(+\infty\); 4) \(e^{12}\); 5) \(\frac{2}{3}\); 6) \(e^9\); 7) \(\sqrt2\); 8) \(e\).

Ключевые шаги

3)
\[ \cos(\pi-x)=-\cos x\to-1,\qquad \operatorname{ctg}9x=\frac{\cos9x}{\sin9x}\sim\frac{1}{9x}. \] Поэтому выражение ведёт себя как \(-\frac{1}{9x}\): \[ x\to0^+:\ -\frac{1}{9x}\to-\infty,\qquad x\to0^-:\ -\frac{1}{9x}\to+\infty. \] Знаки разные, значит двусторонний предел не существует.

4) Обозначим \(t=\sin x\). Тогда \(t\to0\), и \[ \lim_{x\to0}(1+\sin x)^{\frac{12}{\sin x}} =\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac{12}{t}} =\left(\lim_{t\to0}(1+t)^{\frac1t}\right)^{12} =e^{12}. \]

5) Домножим числитель и знаменатель на сопряжённые выражения: \[ \frac{\sqrt{x+5}-3}{\sqrt{x}-2} = \frac{\frac{x-4}{\sqrt{x+5}+3}}{\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}} = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x+5}+3}. \] При \(x\to4\): \[ \frac{2+2}{3+3}=\frac{2}{3}. \]

6) Используем второй замечательный предел: \[ \left(\frac{x+3}{x}\right)^{3x} = \left(1+\frac3x\right)^{3x} = \left[\left(1+\frac3x\right)^{\frac{x}{3}}\right]^9 \to e^9. \]

7) Здесь неопределённости нет, можно подставить \(x=0\): \[ (2+5x)^{\frac{1}{2(5x+1)}}\to 2^{\frac12}=\sqrt2. \]

8) Обозначим \(t=x^2\to+\infty\). Тогда \[ \left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^{x^2+2} = \left(1+\frac1{x^2}\right)^{x^2+2} = \left(1+\frac1{x^2}\right)^{x^2} \left(1+\frac1{x^2}\right)^2 \to e\cdot1=e. \]