Реши подробно способом Крамера

Question

Расшифровка фото нейросетью:
Система уравнений (красным): { 2x₁ - 2x₂ + x₃ = 3; x₁ + 3x₂ - x₃ = 8; 4x₁ + x₂ + 2x₃ = 16.
Выше: D₃ = |1 2 3; 4 -1 12; 2 3 13| = 1(13-36) - 2(52-24) + 3(12+2) = ; x₃ = -63/-21 = 3.
Ниже: D₂ = |2 -2 1; 1 3 -1; 4 1 2| = 2·|3 -1; 1 2| + (-2)·|1 -1; 4 2| + ... ; = 2·[неразборчиво] + 2·8 + 1·7 = 14 + 12 + 4...[неразборчиво]
|a b; c d| = ad - cb (нижняя строка определителя обрезана).

Answer

Ответ: $x_1=3,\quad x_2=2,\quad x_3=1$.

Система с фото (записана красным):
$$
\begin{cases}
2x_1-2x_2+x_3=3,\
x_1+3x_2-x_3=8,\
4x_1+x_2+2x_3=16.
\end{cases}
$$

Принцип метода Крамера. Сначала считаем определитель матрицы коэффициентов $D$. Если $D\neq 0$, решение единственно:
$$
x_1=\frac{D_1}{D},\quad x_2=\frac{D_2}{D},\quad x_3=\frac{D_3}{D},
$$
где $D_j$ — тот же определитель, но $j$-й столбец заменён столбцом свободных членов $(3;\,8;\,16)$. Раскладываем по первой строке со знаками $+,-,+$, а определитель 2-го порядка считаем по правилу с фото: $\begin{vmatrix}a&b\c&d\end{vmatrix}=ad-cb$.

Шаг 1. Главный определитель.
$$
D=\begin{vmatrix}2&-2&1\1&3&-1\4&1&2\end{vmatrix}
=2\begin{vmatrix}3&-1\1&2\end{vmatrix}-(-2)\begin{vmatrix}1&-1\4&2\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1&3\4&1\end{vmatrix}
$$
$$
=2(6+1)+2(2+4)+(1-12)=14+12-11=15.
$$
$D=15\neq0$ — решение существует и единственно.

Шаг 2. $D_1$ (первый столбец заменён на $3,8,16$):
$$
D_1=\begin{vmatrix}3&-2&1\8&3&-1\16&1&2\end{vmatrix}
=3(6+1)+2(16+16)+(8-48)=21+64-40=45.
$$

Шаг 3. $D_2$:
$$
D_2=\begin{vmatrix}2&3&1\1&8&-1\4&16&2\end{vmatrix}
=2(16+16)-3(2+4)+(16-32)=64-18-16=30.
$$

Шаг 4. $D_3$:
$$
D_3=\begin{vmatrix}2&-2&3\1&3&8\4&1&16\end{vmatrix}
=2(48-8)+2(16-32)+3(1-12)=80-32-33=15.
$$

Шаг 5.
$$
x_1=\frac{45}{15}=3,\qquad x_2=\frac{30}{15}=2,\qquad x_3=\frac{15}{15}=1.
$$

Проверка (подставляем в исходные уравнения):
$$
2\cdot3-2\cdot2+1=3,\qquad 3+3\cdot2-1=8,\qquad 4\cdot3+2+2\cdot1=16.
$$
Всё сходится.

Что поправить в своей записи.

Матрицу коэффициентов вы обозначили $D_2$, хотя это главный определитель $D$; номер появляется только после замены столбца.

Миноры: $\begin{vmatrix}3&-1\1&2\end{vmatrix}=7$, $\begin{vmatrix}1&-1\4&2\end{vmatrix}=6$, $\begin{vmatrix}1&3\4&1\end{vmatrix}=-11$. В строке $2\cdot8+1\cdot7$ подставлены другие числа, поэтому сумма и не сошлась.

Второе слагаемое: $-(-2)\cdot(\ldots)=+2\cdot(\ldots)$ — двойной минус даёт плюс.

Запись вверху страницы ($D_3=-63$, $x_3=\frac{-63}{-21}=3$) относится к другой матрице: для этой системы $D=15$, поэтому те числа сюда не подходят.