Контрольная работа «Алгебраические дроби» Вариант 2 № 1 Сократите дробь 1) 14a⁶b⁴/35a³b⁵ 2) (a²+ab)/ab

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Контрольная работа «Алгебраические дроби»
Вариант 2

№ 1 Сократите дробь

1. $\frac{14a^6b^4}{35a^3b^5}$ 2) $\frac{a^2+ab}{ab}$

№ 2 Выполните действия

1. $\frac{b+3a}{18a^2b}+\frac{a-4b}{24ab^2}$ 2) $\frac{m-4}{m}-\frac{m-3}{m+1}$ 3) $\frac{x^2-a^2}{2ax^2}\cdot\frac{ax}{a+x}$ 4) $\frac{8m^2}{n}:2mn$

№ 3 Найти значение выражения
$$\frac{4-7x^2}{2-x}+\frac{6x^2}{2-x}\quad \text{при } x=-\frac{3}{4}$$

№ 4 Упростите выражение
$$\left(\frac{m-1}{m+1}-\frac{m+1}{m-1}\right):\frac{4m}{m^2-1}$$

№ 5 Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения
$$\frac{1}{a^2+2}+\frac{8}{a^4-4}-\frac{2}{a^2-2}$$
отрицательно.

Answer

Краткие ответы

1.
1. $\dfrac{2a^3}{5b}$; 2) $\dfrac{a+b}{b}$.

2.
1. $\dfrac{3a^2+4b^2}{72a^2b^2}$; 2) $-\dfrac{4}{m(m+1)}$; 3) $\dfrac{x-a}{2x}$; 4) $\dfrac{4m}{n^2}$.

3. $\dfrac54$.

4. $-1$.

5. Выражение равно $-\dfrac{1}{a^2+2}$, поэтому оно отрицательно при всех допустимых $a$.

Все ответы — для значений переменных, при которых исходные выражения имеют смысл.

Как это получается

№ 1. Сокращение дробей

Используем $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$:

$$
\frac{14a^6b^4}{35a^3b^5}
=\frac{14}{35}\cdot a^{6-3}\cdot\frac{b^4}{b^5}
=\frac25\cdot a^3\cdot\frac1b
=\frac{2a^3}{5b}.
$$

Во второй дроби сначала вынесем общий множитель:

$$
\frac{a^2+ab}{ab}
=\frac{a(a+b)}{ab}
=\frac{a+b}{b}.
$$

№ 2. Действия с дробями

1. Общий знаменатель $72a^2b^2$:

$$
\frac{b+3a}{18a^2b}+\frac{a-4b}{24ab^2}
=
\frac{4b(b+3a)+3a(a-4b)}{72a^2b^2}
=
\frac{3a^2+4b^2}{72a^2b^2}.
$$

2. Общий знаменатель $m(m+1)$:

$$
\frac{m-4}{m}-\frac{m-3}{m+1}
=
\frac{(m-4)(m+1)-m(m-3)}{m(m+1)}
=
\frac{-4}{m(m+1)}
=
-\frac{4}{m(m+1)}.
$$

3. Раскладываем разность квадратов и сокращаем:

$$
\frac{x^2-a^2}{2ax^2}\cdot\frac{ax}{a+x}
=
\frac{(x-a)(x+a)ax}{2ax^2(a+x)}
=
\frac{x-a}{2x}.
$$

4. Деление заменяем умножением на обратную дробь:

$$
\frac{8m^2}{n}:2mn
=
\frac{8m^2}{n}\cdot\frac1{2mn}
=
\frac{4m}{n^2}.
$$

№ 3. Значение выражения

У дробей одинаковый знаменатель, поэтому складываем числители:

$$
\frac{4-7x^2}{2-x}+\frac{6x^2}{2-x}
=
\frac{4-x^2}{2-x}
=
\frac{(2-x)(2+x)}{2-x}
=2+x.
$$

При $x=-\dfrac34$:

$$
2-\frac34=\frac54.
$$

Ответ: $\dfrac54$.

№ 4. Упрощение выражения

Сначала приведём дроби в скобках к общему знаменателю $m^2-1$:

$$
\frac{m-1}{m+1}-\frac{m+1}{m-1}
=
\frac{(m-1)^2-(m+1)^2}{m^2-1}
=
\frac{-4m}{m^2-1}.
$$

Теперь делим:

$$
\frac{-4m}{m^2-1}:\frac{4m}{m^2-1}
=
\frac{-4m}{m^2-1}\cdot\frac{m^2-1}{4m}
=-1.
$$

Здесь $m\ne0,\ \pm1$, иначе деление на ноль.

№ 5. Доказательство

Обозначим $a^2=t$, где $t\ge 0$, но $t\ne2$:

$$
\frac1{a^2+2}+\frac8{a^4-4}-\frac2{a^2-2}
=
\frac1{t+2}+\frac8{(t-2)(t+2)}-\frac2{t-2}.
$$

Приводим к общему знаменателю:

$$
\frac{(t-2)+8-2(t+2)}{(t-2)(t+2)}
=
\frac{-t+2}{(t-2)(t+2)}
=
-\frac{t-2}{(t-2)(t+2)}
=
-\frac1{t+2}.
$$

Так как $t=a^2\ge0$, то $t+2>0$, значит

$$
-\frac1{a^2+2}<0.
$$

То есть при всех допустимых значениях $a$ выражение отрицательно. При этом $a\ne\pm\sqrt2$, потому что при $a^2=2$ знаменатели $a^2-2$ и $a^4-4$ обращаются в ноль.