В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 10 см, а высота ВО равна 8 см. АН – высота треугольника. К – точка пересечения АН и ВО. Найдите КО.

Краткий ответ:
\[ KO=\frac{25}{8}\text{ см}=3{,}125\text{ см}. \]

Решение

1. Так как треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AC\), высота \(BO\) является ещё и медианой. Значит, \[ AO=OC=\frac{AC}{2}=5\text{ см}. \]

2. Введём координаты: \[ O(0;0),\quad A(-5;0),\quad C(5;0),\quad B(0;8). \]

3. Найдём угловой коэффициент прямой \(BC\): \[ k_{BC}=\frac{8-0}{0-5}=-\frac85. \]

4. Прямая \(AH\) перпендикулярна \(BC\), поэтому её угловой коэффициент: \[ k_{AH}=\frac58. \] Она проходит через \(A(-5;0)\), значит её уравнение: \[ y=\frac58(x+5). \]

5. Прямая \(BO\) — это ось \(Oy\), то есть \(x=0\). Подставляем: \[ y_K=\frac58(0+5)=\frac{25}{8}. \]

Следовательно, \[ KO=\frac{25}{8}\text{ см}=3{,}125\text{ см}. \]

Проверка: точка \(K\) лежит на отрезке \(BO\), так как \(0<\frac{25}{8}<8\). Значит, ответ согласуется с рисунком.