Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Кратко:
\[ x^2-5x+6=0 \quad\Rightarrow\quad x_1=2,\ x_2=3. \]
Как это получить:
Ищем разложение вида \((x-a)(x-b)\). Тогда после раскрытия скобок:
\[ x^2-(a+b)x+ab. \]
Сравниваем с \(x^2-5x+6\):
\[ a+b=5,\qquad ab=6. \]
Подходят числа \(2\) и \(3\): их сумма равна \(5\), а произведение — \(6\). Значит,
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
Для \(x=2\): \(4-10+6=0\).
Для \(x=3\): \(9-15+6=0\).
Оба корня подходят.
Принцип: для уравнения \(x^2+px+q=0\) можно найти два числа, сумма которых равна \(-p\), а произведение равно \(q\). Если такие числа \(m\) и \(n\) найдены, то корни равны \(m\) и \(n\).
Обсуждение
3 сообщенияА если корни не целые — через дискриминант?
Ответ
Да, дискриминант работает всегда — и когда корни целые, и когда они дробные или иррациональные. Целые корни — это просто удобный случай, где можно угадать разложение.
Формула
Для \(ax^2+bx+c=0\) при \(a\ne 0\):
\[ D=b^2-4ac,\qquad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
- \(D>0\) — два различных действительных корня;
- \(D=0\) — один корень \(x=-\frac{b}{2a}\);
- \(D<0\) — действительных корней нет.
Пример с нецелыми корнями
\[ x^2-3x+1=0 \]
Здесь \(a=1,\ b=-3,\ c=1\):
\[ D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 1=9-4=5. \]
\(D>0\), но \(\sqrt{5}\) не извлекается — целых корней нет:
\[ x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}. \]
То есть
\[ x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}618,\qquad x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}382. \]
Проверка по Виету: сумма корней
\[ \frac{3+\sqrt{5}}{2}+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=3, \]
произведение
\[ \frac{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}{4}=\frac{9-5}{4}=1. \]
Совпадает с коэффициентами \(x^2-3x+1\): сумма корней равна \(3\), произведение равно \(1\). ✔
Почему формула вообще получается
Выделяем полный квадрат:
\[ ax^2+bx+c=0 \;\Rightarrow\; x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}. \]
Справа как раз \(D/(4a^2)\). Извлекаем корень:
\[ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{D}}{2a} \;\Rightarrow\; x=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}. \]
Практический порядок действий
- Выпиши \(a,\ b,\ c\) с их знаками.
- Посчитай \(D=b**Ответ для \(x^2-3x+1=0\):**
\[ x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}618,\qquad x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}382. \]
Ответ для исходного \(x^2-5x+6=0\): \(x_1=2,\ x_2=3\).
Если нужно, могу так же коротко добить порядок действий с дискриминантом на твоём примере — просто пришли своё уравнение.
