270. Среди чисел 1/7; 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111...

На фото несколько упражнений. Ниже — ответы для всех полностью читаемых пунктов.

270.
Рациональные числа:
\[ \frac17;\quad 0;\quad 0{,}25;\quad -2{,}(3);\quad 4{,}2(51);\quad 217. \] Иррациональные числа:
\[ 0{,}818118111\ldots;\quad \pi. \]

271.
а) \(7{,}16\in N\) — нет; \(7{,}16\in Z\) — нет; \(7{,}16\in Q\) — да; \(7{,}16\in R\) — да.
б) \(409\in N,Z,Q,R\) — да, да, да, да.
в) \(\pi\in N\) — нет; \(\pi\in Z\) — нет; \(\pi\in Q\) — нет; \(\pi\in R\) — да.

272.
а) \(7{,}653\ldots>7{,}563\ldots\);
б) \(0{,}123\ldots>0{,}114\ldots\).
Пункты в) и г) на фото обрезаны.

273.
а) \(1{,}(56)>1{,}56\);
в) \(1\frac23<1{,}6668\).

Как рассуждать

• Рациональное число можно записать дробью \(\frac{m}{n}\), где \(m,n\) — целые, \(n\neq0\). Поэтому целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби рациональны.
• \(0{,}818118111\ldots\) имеет непериодическую запись: группы единиц всё время удлиняются. Поэтому это иррациональное число. \(\pi\) тоже иррационально.
• Для множеств верно \(N\subset Z\subset Q\subset R\). Значит, \(409\) входит во все эти множества, а \(7{,}16\) — только в \(Q\) и \(R\).
• Десятичные дроби сравнивают по разрядам слева направо. Например, у \(1{,}(56)=1{,}565656\ldots\) третий знак после запятой \(5\), а у \(1{,}56\) — \(0\), поэтому \(1{,}(56)>1{,}56\).
• \(1\frac23=1{,}666666\ldots\), а \(1{,}6668\) больше: на четвёртом знаке после запятой \(6<8\).

Проверка: \(1{,}(56)=\frac{155}{99}\), и \(\frac{155}{99}>\frac{39}{25}=1{,}56\). Кроме того, \(\frac53< \frac{4167}{2500}\), то есть \(1\frac23<1{,}6668\).