В параллелограмме ABCD K – середина BC. O – точка пересечения диагоналей. Выразите вектор KD через векторы AK и KO.

Краткий ответ: \[ \boxed{\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KO}} \]

Пусть \[ \vec{AB}=\vec a,\qquad \vec{AD}=\vec b. \] Тогда в параллелограмме \(\vec{BC}=\vec b\), а \(K\) — середина \(BC\), поэтому \[ \overrightarrow{AK} =\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BK} =\vec a+\frac12\vec b. \]

Точка \(O\) — середина диагонали \(AC\), следовательно, \[ \overrightarrow{AO} =\frac12\overrightarrow{AC} =\frac12(\vec a+\vec b). \] Значит, \[ \overrightarrow{KO} =\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{AK} =\frac12(\vec a+\vec b)-\left(\vec a+\frac12\vec b\right) =-\frac12\vec a. \]

Теперь найдём \(\overrightarrow{KD}\): \[ \overrightarrow{KD} =\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AK} =\vec b-\left(\vec a+\frac12\vec b\right) =\frac12\vec b-\vec a. \]

Проверяем нужное выражение: \[ \overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KO} = \left(\vec a+\frac12\vec b\right) +4\left(-\frac12\vec a\right) = \frac12\vec b-\vec a = \overrightarrow{KD}. \]

Значит, \[ \overrightarrow{KD}=\overrightarrow{AK}+4\overrightarrow{KO}. \]

Главный приём таких задач: выбрать два удобных базисных вектора, выразить через них все нужные точки, а затем сравнить коэффициенты.