lim (x→∞) [(x² + 1)/x²]^(x² + 2) =

Ответ:

\[ \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)^{x^2+2}=e. \]

Как это получается:

\[ \frac{x^2+1}{x^2}=1+\frac{1}{x^2}. \]

Обозначим \(t=x^2\). При \(x\to\infty\) также \(t\to+\infty\), поэтому

\[ \left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x^2+2} = \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+2}. \]

Разделим степени:

\[ \left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+2} = \left(1+\frac{1}{t}\right)^t \cdot \left(1+\frac{1}{t}\right)^2. \]

Первый множитель стремится к \(e\) — это второй замечательный предел:

\[ \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e. \]

Второй множитель стремится к \(1\), так как \(1/t\to0\):

\[ \left(1+\frac{1}{t}\right)^2\to 1^2=1. \]

Значит,

\[ e\cdot 1=e. \]

Ответ: \(e\).