В параллелограмме ABCD точка E делит сторону BC в отношении BE : EC = 3 : 1, прямые AE и BD пересекаются в точке O. Найдите отношение площади параллелограмма

Краткий ответ: \(\dfrac{56}{19}\), то есть \(S_{ABCD}:S_{ECDO}=56:19\).

Как понять решение

1. Диагональ \(BD\) делит параллелограмм на два равных треугольника: \[ S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}. \]

2. Найдём, в каком отношении точка \(O\) делит \(BD\).
   Пусть \(\vec{AB}=\mathbf b,\ \vec{AD}=\mathbf d\). Тогда \[ E=\mathbf b+\frac34\mathbf d, \] так как \(BE:EC=3:1\), значит \(BE=\frac34BC\).

Точка на \(AE\) имеет вид \[ t\mathbf b+\frac34t\mathbf d. \] Точка на \(BD\) имеет вид \[ (1-u)\mathbf b+u\mathbf d. \] Приравниваем коэффициенты: \[ t=1-u,\qquad \frac34t=u. \] Отсюда \[ t=\frac47,\qquad u=\frac37. \] Значит, \[ BO:OD=3:4. \]

3. В треугольнике \(BCD\): \[ \frac{BE}{BC}=\frac34,\qquad \frac{BO}{BD}=\frac37. \] Поэтому \[ \frac{S_{BEO}}{S_{BCD}}=\frac34\cdot\frac37=\frac9{28}. \] Четырёхугольник \(ECDO\) — это треугольник \(BCD\) без треугольника \(BEO\), значит: \[ \frac{S_{ECDO}}{S_{BCD}}=1-\frac9{28}=\frac{19}{28}. \] Так как \(S_{BCD}=\frac12S_{ABCD}\), \[ \frac{S_{ECDO}}{S_{ABCD}} =\frac{19}{28}\cdot\frac12 =\frac{19}{56}. \] Следовательно, \[ \frac{S_{ABCD}}{S_{ECDO}}=\frac{56}{19}. \]

Проверка: если площадь параллелограмма равна \(56\), то \(S_{BCD}=28\), \(S_{BEO}=9\), а \(S_{ECDO}=28-9=19\). Отношение действительно \(56:19\).