Объясни мне эту тему
Сверь числа и знаки с фото.
- Нахождение дроби от числа
Напомним, что с помощью умножения на правильную дробь можно находить часть целого (дробь от числа).
Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь.
Рассмотрим решения задач на нахождение дроби от числа для дробей, которые не являются правильными обыкновенными дробями.
Задача 1. Катя за учебный год взяла 35 художественных книг в детской библиотеке. Из них 0,8 книг показались ей интересными. Сколько книг показались интересными Кате?
Решение. Для решения задачи надо умножить 35 на 0,8: \[35 \cdot 0,8 = 28.\]
Ответ. Кате показались интересными 28 книг.
Задача 2. Месячный оклад рабочего 60 000 р. За месяц он получил сумму, которая составила \(1\frac{1}{4}\) оклада. Сколько рублей получил рабочий за месяц?
Решение. Рабочий получил \(1\frac{1}{4}\) от оклада в 60 000 р. Для решения задачи умножим 60 000 на \(1\frac{1}{4}\).
Представим смешанное число в виде неправильной дроби и выполним умножение: \[60\,000 \cdot 1\frac{1}{4} = 60\,000 \cdot \frac{5}{4} = \frac{60\,000 \cdot 5}{4} = 75\,000 \text{ (р.)}.\]
Ответ. За месяц рабочий получил 75 000 р.
Задача 3. Туристический маршрут составляет 120 км. На байдарке нужно пройти 24 % маршрута. Сколько километров пройдут туристы на байдарке?
Решение. Для решения задачи надо умножить 120 на 0,24, так как 24 % = 0,24. Получим \[120 \cdot 0,24 = 28,8 \text{ (км)}.\]
Ответ. На байдарке туристы пройдут 28,8 км.
Задача 4. Вкладчик положил в банк 600 000 р. под 6 % годовых. Какая сумма будет у него на счёте через год?
Решение. Первый способ. Найдём, сколько будет начислено денег по процентам через год: \[600\,000 \cdot 0,06 = 36\,000 \text{ (р.)}.\]
Вычислим сумму на счёте через год: \[600\,000 + 36\,000 = 636\,000 \text{ (р.)}.\]
Кратко
Вся тема — одно правило: чтобы найти дробь от числа, надо умножить число на эту дробь. Неважно, как записана «часть» — обыкновенной дробью \(\frac{3}{4}\), десятичной \(0{,}8\) или процентами \(24\%\), — это просто множитель.
Почему правило работает
Дробь \(\frac{m}{n}\) означает «разделили на \(n\) равных частей и взяли \(m\) таких частей». Значит, \(\frac{m}{n}\) от числа \(a\) — это \((a : n)\cdot m\). А это то же самое, что \(a \cdot \frac{m}{n}\):
\[\frac{m}{n}\ \text{от}\ a = (a : n)\cdot m = a \cdot \frac{m}{n}.\]
Например, \(\frac{4}{5}\) от \(35\): \(35 : 5 = 7\), \(7 \cdot 4 = 28\). И через умножение: \(35 \cdot 0{,}8 = 28\) — тот же ответ.
Как это работает в задачах со страницы
| Что дано (целое) | Часть | Запись части | Умножение | Ответ |
|---|---|---|---|---|
| 35 книг | \(0{,}8\) | \(0{,}8\) | \(35 \cdot 0{,}8 = 28\) | 28 книг |
| 60 000 р. | \(1\frac{1}{4}\) оклада | \(\frac{5}{4}\) | \(60\,000 \cdot \frac{5}{4} = 75\,000\) | 75 000 р. |
| 120 км | \(24\%\) | \(0{,}24\) | \(120 \cdot 0{,}24 = 28{,}8\) | 28,8 км |
| 600 000 р. | \(6\%\) в год | \(0{,}06\) | \(600\,000 \cdot 0{,}06 = 36\,000\) — это только проценты | 600 000 + 36 000 = 636 000 р. |
Три места, где чаще всего ошибаются
- Проценты нужно перевести в дробь. \(24\% = \frac{24}{100} = 0{,}24\); \(6\% = 0{,}06\); \(100\% = 1\). Считать «\(120 \cdot 24\)» нельзя — получится в 100 раз больше.
- Смешанное число сначала превращаем в неправильную дробь: \(1\frac{1}{4} = \frac{1\cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}\). Удобно считать так: \(60\,000 : 4 = 15\,000\), затем \(15\,000 \cdot 5 = 75\,000\).
- Следите за вопросом. В задаче про вклад спрашивают не «сколько начислили», а «какая сумма на счёте» — проценты прибавляем к вкладу. И проверяйте смысл: множитель \(\frac{5}{4} > 1\), значит, результат должен быть больше 60 000 — так и вышло.
Самопроверка обратным действием
Если \(28\) — это \(0{,}8\) от целого, то целое равно \(28 : 0{,}8 = 35\). Аналогично \(28{,}8 : 0{,}24 = 120\) км, а \(36\,000 : 0{,}06 = 600\,000\) р. Совпало со значениями из условия — ответ верный.
Алгоритм для похожего задания
- Определите целое — число, от которого берут часть.
- Запишите часть одной дробью (проценты → десятичная или обыкновенная дробь).
- Умножьте целое на эту дробь.
- Проверьте результат: если дробь меньше 1 — ответ меньше целого, если больше 1 — больше; сверьте единицы измерения.
Мини-проверка: \(\frac{5}{6}\) от \(42\) — это \(42 : 6 \cdot 5 = 35\), то есть \(42 \cdot \frac{5}{6} = 35\).
Обсуждение
2 сообщенияСделай
Сделал № 2.349–2.355. № 2.356 на фото обрезан: видно только начало условия, вопроса нет.
| № | Ответ |
|---|---|
| 2.349 | \(5\) см |
| 2.350 | 1) \(b=17,5\); 2) \(c=4,6\) |
| 2.351 | 1) \(185,85\); 2) \(268,92\); 3) \(324,4\); 4) \(602,51\) |
| 2.352 | на \(22\) р. |
| 2.353 | \(804\) г |
| 2.354 | \(94^\circ\) |
| 2.355 | \(3\) семени |
Решения
2.349.
Площадь основания-квадрата:
\[
S=2,4^2=5,76\ \text{см}^2.
\]
Высота:
\[
h=\frac{V}{S}=\frac{28,8}{5,76}=5\ \text{см}.
\]
2.350.
1) \[ b-13,4=178,87-174,77=4,1, \] \[ b=4,1+13,4=17,5. \]
2) \[ 17,1-c=243,82-231,32=12,5, \] \[ c=17,1-12,5=4,6. \]
2.351.
1) \[ 1,3689+0,7311=2,1; \] \[ 3,4\cdot15,7-47,08=6,3; \] \[ 557,55\cdot2,1:6,3=185,85. \]
2) \[ 0,9078+1,2922=2,2; \] \[ 2,8\cdot14,7-36,76=4,4; \] \[ 537,84\cdot2,2:4,4=268,92. \]
3) \[ 7,02:7,8=0,9,\qquad 561,15:8,7=64,5; \] \[ (64,5-0,9)\cdot(72-64,5)-152,6= 63,6\cdot7,5-152,6=324,4. \]
4) \[ 6,88:8,6=0,8,\qquad 326,61:57=5,73; \] \[ (16,3-0,8)\cdot(11,49-5,73)+513,23= 15,5\cdot5,76+513,23=602,51. \]
2.352.
Цена во втором магазине:
\[
418\cdot\frac{18}{19}=22\cdot18=396\ \text{р}.
\]
Разница:
\[
418-396=22\ \text{р}.
\]
2.353.
Масса моркови:
\[
435,5\cdot\frac{11}{13}=33,5\cdot11=368,5\ \text{г}.
\]
Масса всей смеси:
\[
435,5+368,5=804\ \text{г}.
\]
2.354.
\[
\angle B=40^\circ\cdot1,35=54^\circ.
\]
\[
\angle A+\angle B=40^\circ+54^\circ=94^\circ.
\]
2.355.
Не взойти может \(100\%-98\%=2\%\) семян:
\[
150\cdot0,02=3.
\]
Пришлите продолжение условия № 2.356 — решу и его.
