Посчитайте g на Земле. Посчитайте g на двух любых объектах Солнечной системы (и не только)

Краткий ответ

На Земле по числам с доски получается \(g \approx 9{,}8\) м/с². Для двух других объектов: Луна — \(g \approx 1{,}6\) м/с², Марс — \(g \approx 3{,}7\) м/с² (для сравнения Юпитер даёт \(\approx 25\) м/с²).

Принцип: откуда берётся формула

Сила тяжести у поверхности — это сила всемирного тяготения:

\[ F=\frac{G\,mM}{R^{2}},\qquad F=mg \]

Приравниваем и сокращаем массу тела \(m\):

\[ g=\frac{GM}{R^{2}} \]

Важно: \(g\) не зависит от массы самого тела, а \(R\) — это радиус планеты (расстояние от центра до поверхности). Единицы: \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\) Н·м²/кг², \(M\) в кг, \(R\) в м — и \(g\) выходит в м/с².

Расчёт для Земли (как на доске)

\[ g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6\cdot10^{24}}{6{,}4\cdot 6{,}4\cdot 10^{6}\cdot 10^{6}} \]

Числитель: \(6{,}67\cdot 6=40{,}02\), степени \(10^{-11}\cdot10^{24}=10^{13}\), итого \(4{,}002\cdot10^{14}\). Знаменатель: \(6{,}4\cdot6{,}4=40{,}96\), степени \(10^{6}\cdot10^{6}=10^{12}\), итого \(4{,}096\cdot10^{13}\).

\[ g=\frac{4{,}002\cdot10^{14}}{4{,}096\cdot10^{13}}\approx 9{,}77\approx 9{,}8\ \text{м/с}^2 \]

Два других объекта

Луна: \(M=7{,}35\cdot10^{22}\) кг, \(R=1{,}74\cdot10^{6}\) м.

\[ g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot10^{22}}{\left(1{,}74\cdot10^{6}\right)^{2}} =\frac{4{,}90\cdot10^{12}}{3{,}03\cdot10^{12}}\approx 1{,}6\ \text{м/с}^2 \]

Марс: \(M=6{,}42\cdot10^{23}\) кг, \(R=3{,}39\cdot10^{6}\) м.

\[ g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot 6{,}42\cdot10^{23}}{\left(3{,}39\cdot10^{6}\right)^{2}} =\frac{4{,}28\cdot10^{13}}{1{,}15\cdot10^{13}}\approx 3{,}7\ \text{м/с}^2 \]

Проверка

• Порядок величин сходится: на Земле должно выйти около 10 м/с², и вышло 9,8.
• Отношение \(g_{\text{Луны}}/g_{\text{Земли}}\approx 0{,}165\) — это как раз известные «примерно в 6 раз меньше». Для Марса \(\approx 0{,}38\) — тоже совпадает с табличными данными.
• Смысловой контроль: у Юпитера масса в 318 раз больше земной, а радиус всего в 11 раз — поэтому \(g\) больше примерно в \(318/11^2\approx 2{,}6\) раза, то есть \(\approx 25\) м/с².

Общая схема для любого похожего задания: найти в справочнике \(M\) и \(R\) объекта, подставить в \(g=\frac{GM}{R^{2}}\), отдельно перемножить числа и степени десятки, затем сравнить ответ с земным \(g\).