Решить

Краткий ответ

27.2 (средняя скорость за промежуток от \(t_1=0\) до \(t_2\)):

• а) \(t_2=0{,}1\) с → \(v_{\text{ср}}=0{,}1\) м/с
• б) \(t_2=0{,}01\) с → \(v_{\text{ср}}=0{,}01\) м/с
• в) \(t_2=0{,}2\) с → \(v_{\text{ср}}=0{,}2\) м/с
• г) \(t_2=0{,}02\) с → \(v_{\text{ср}}=0{,}02\) м/с

27.3 (мгновенная скорость в момент \(t\)):

• а) \(s(t)=4t+1\) → \(v=4\) м/с
• б) \(s(t)=6t-2\) → \(v=6\) м/с
• в) \(s(t)=3t+2\) → \(v=3\) м/с
• г) \(s(t)=5t-1\) → \(v=5\) м/с

Как это получается

27.2. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время:

\[ v_{\text{ср}}=\frac{s(t_2)-s(t_1)}{t_2-t_1} \]

Здесь \(t_1=0\), а \(s(0)=0^2=0\), поэтому

\[ v_{\text{ср}}=\frac{t_2^2-0}{t_2-0}=t_2 \]

То есть численно средняя скорость на таком промежутке равна самому \(t_2\) (в метрах в секунду):

• \(t_2=0{,}1\): \(s=0{,}01\) м, \(v_{\text{ср}}=\dfrac{0{,}01}{0{,}1}=0{,}1\) м/с;
• \(t_2=0{,}01\): \(s=0{,}0001\) м, \(v_{\text{ср}}=\dfrac{0{,}0001}{0{,}01}=0{,}01\) м/с;
• \(t_2=0{,}2\): \(s=0{,}04\) м, \(v_{\text{ср}}=\dfrac{0{,}04}{0{,}2}=0{,}2\) м/с;
• \(t_2=0{,}02\): \(s=0{,}0004\) м, \(v_{\text{ср}}=\dfrac{0{,}0004}{0{,}02}=0{,}02\) м/с.

27.3. Мгновенная скорость — это предел средней скорости при \(\Delta t\to 0\), то есть производная:

\[ v(t)=s'(t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t} \]

Для линейной функции \(s(t)=kt+b\) приращение \(\Delta s = k\,\Delta t\), значит \(v=\dfrac{k\,\Delta t}{\Delta t}=k\) — скорость постоянна и равна коэффициенту при \(t\). Отсюда сразу все четыре ответа.

Проверка

Если в 27.2 уменьшать \(t_2\), средняя скорость стремится к нулю — и это сходится с 27.3: для \(s=t^2\) производная \(v(t)=2t\), а при \(t=0\) получаем \(v(0)=0\). Заодно видно, что на промежутке \([0;t_2]\) средняя скорость \(t_2\) вдвое меньше мгновенной скорости в конце промежутка \(2t_2\) — при равноускоренном движении так и должно быть.