Реши уравнение(х+5)

Похоже, уравнение такое: \[ (x+5)^2=0 \]

Ответ: \(x=-5\).

Почему так:

1. Квадрат числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю (квадрат не бывает отрицательным, а положительным он становится при любом ненулевом основании).
2. Значит, \(x+5=0\).
3. Отсюда \(x=-5\).

Проверка: \((-5+5)^2=0^2=0\) — верно. Корень один (кратности 2), потому что уравнение вида \((x-a)^2=0\) всегда имеет единственное решение \(x=a\).

Если справа стоит не \(0\), а другое число, ответ будет другим — например, для \((x+5)^2=16\) получаем \(x+5=\pm 4\), то есть \(x=-1\) или \(x=-9\). Напиши правую часть, и я пересчитаю под неё.

Это квадрат разности — раскрываем по формуле \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\): \[ (5a-2)^2=(5a)^2-2\cdot 5a\cdot 2+2^2=25a^2-20a+4 \]

Ответ: \(25a^2-20a+4\).

Ключевые шаги:

1. Квадрат первого члена: \((5a)^2=25a^2\) — в квадрат возводим и коэффициент, и букву.
2. Удвоенное произведение: \(2\cdot 5a\cdot 2=20a\), ставим со знаком «минус», потому что между членами в скобке минус.
3. Квадрат второго члена: \(2^2=4\).
4. Слагаемые не подобны (\(a^2\), \(a\) и число), поэтому просто записываем сумму.

Проверка: при \(a=1\) слева \((5-2)^2=9\), справа \(25-20+4=9\) — совпало.

Если же это уравнение \((5a-2)^2=0\), то работает тот же вывод, что и раньше: квадрат равен нулю только при нулевом основании, значит \(5a-2=0\) и \(a=\frac{2}{5}=0{,}4\).

Для уравнения \[ (5a-2)^2=0 \] ответ: \(a=\dfrac{2}{5}=0{,}4\).

Решение по шагам:

1. Квадрат равен нулю только тогда, когда равно нулю само выражение в квадрате: \[ 5a-2=0 \]
2. Переносим \(-2\) вправо: \[ 5a=2 \]
3. Делим обе части на 5: \[ a=\frac{2}{5}=0{,}4 \]

Проверка: \(\left(5\cdot \frac{2}{5}-2\right)^2=(2-2)^2=0\) — верно. Корень один, так как квадрат обращается в ноль только при нулевом основании.

Если в твоём уравнении справа стоит не \(0\), а другое число, напиши его — тогда корней может быть два, и решение пойдёт через \(5a-2=\pm\sqrt{\text{число}}\).

Это произведение суммы и разности — раскрываем по формуле \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\): \[ (a-3)(a+3)=a^2-3^2=a^2-9 \]

Ответ: \(a^2-9\).

Почему так:

1. Перемножаем почленно: \(a\cdot a+a\cdot 3-3\cdot a-3\cdot 3\).
2. Средние слагаемые \(3a\) и \(-3a\) взаимно уничтожаются.
3. Остаётся \(a^2-9\).

Проверка: при \(a=4\) слева \((4-3)(4+3)=1\cdot 7=7\), справа \(16-9=7\) — совпало.

Если это уравнение \((a-3)(a+3)=0\), то произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель: \(a=3\) или \(a=-3\).

Для уравнения \[ (a-3)(a+3)=0 \] ответ: \(a=3\) или \(a=-3\).

Решение по шагам:

1. Произведение равно нулю тогда, когда равен нулю хотя бы один из множителей: \[ a-3=0 \quad \text{или} \quad a+3=0 \]
2. Из первого уравнения: \[ a=3 \]
3. Из второго уравнения: \[ a=-3 \]

Проверка:

• при \(a=3\): \((3-3)(3+3)=0\cdot 6=0\) — верно;
• при \(a=-3\): \((-3-3)(-3+3)=-6\cdot 0=0\) — верно.

Корней два, потому что здесь уравнение распадается на два линейных, а не является квадратом, как в прошлом примере.

Если правая часть не \(0\), а другое число, решение другое: например, для \((a-3)(a+3)=16\) получим \(a^2-9=16\), то есть \(a^2=25\) и \(a=\pm 5\).

Это снова квадрат разности — применяем ту же формулу \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\), где \(a=7x\), \(b=2y\): \[ (7x-2y)^2=(7x)^2-2\cdot 7x\cdot 2y+(2y)^2=49x^2-28xy+4y^2 \]

Ответ: \(49x^2-28xy+4y^2\).

Ключевые шаги:

1. Квадрат первого члена: \((7x)^2=49x^2\) — возводим в квадрат и коэффициент, и букву.
2. Удвоенное произведение: \(2\cdot 7x\cdot 2y=28xy\), знак «минус», так как в скобке разность.
3. Квадрат второго члена: \((2y)^2=4y^2\) — здесь легко забыть возвести в квадрат дДля уравнения \[ (7x-2y)^2=0 \] ответ: \(7x-2y=0\), то есть \(y=\dfrac{7}{2}x\) (или \(x=\dfrac{2}{7}y\)).

Решение по шагам:

1. Квадрат равен нулю только при нулевом основании: \[ 7x-2y=0 \]
2. Переносим \(2y\) вправо: \[ 7x=2y \]
3. Выражаем \(y\): \[ y=\frac{7x}{2}=3{,}5x \]

Проверка: подставим \(x=2\), тогда \(y=7\). Получаем \((7\cdot 2-2\cdot 7)^2=(14-14)^2=0\) — верно.

Здесь одна связь между двумя переменными, поэтому решений бесконечно много: подходит любая пара вида \(\left(t;\ \frac{7}{2}t\right)\). Если в уравнении справа стоит не \(0\), а число, то будет \(7x-2y=\pm\sqrt{\text{число}}\) — пришли правую часть, и я пересчитаю.

Это квадрат суммы — раскрываем по формуле \((a+c)^2=a^2+2ac+c^2\): \[ (a+c)^2=a^2+2ac+c^2 \]

Ответ: \(a^2+2ac+c^2\).

Ключевые шаги:

1. Квадрат первого слагаемого: \(a^2\).
2. Удвоенное произведение первого и второго: \(2ac\) — знак «плюс», потому что в скобке сумма.
3. Квадрат второго слагаемого: \(c^2\).
4. Слагаемые \(a^2\), \(ac\) и \(c^2\) не подобны, поэтому выражение остаётся в таком виде.

Проверка: при \(a=2\), \(c=3\) слева \((2+3)^2=25\), справа \(4+12+9=25\) — совпало.

Если это уравнение \((a+c)^2=0\), то квадрат равен нулю только при нулевом основании: \(a+c=0\), то есть \(c=-a\) (или \(a=-c\)). Решений бесконечно много — подходит любая пара противоположных чисел.

Для уравнения \[ (a+c)^2=0 \] ответ: \(a=-c\) (или \(c=-a\)).

Решение по шагам:

1. Квадрат равен нулю только тогда, когда равно нулю само выражение в квадрате: \[ a+c=0 \]
2. Выражаем \(a\): \[ a=-c \]
3. Или, если выражать \(c\): \[ c=-a \]

Проверка: при \(c=4\) получаем \(a=-4\), тогда \((-4+4)^2=0^2=0\) — верно.

Решений бесконечно много: подходит любая пара противоположных чисел, то есть все пары вида \((t;-t)\).

Если в твоём уравнении справа стоит не \(0\), а другое число \(k\), то решение идёт через \(a+c=\pm\sqrt{k}\) — пришли эту правую часть, и я пересчитаю.

Это квадрат суммы: \((-3x+y)^2=(y-3x)^2\). Раскрываем по формуле \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\): \[ (-3x+y)^2=y^2-2\cdot y\cdot 3x+(3x)^2=9x^2-6xy+y^2 \]

Ответ: \(9x^2-6xy+y^2\).

Ключевые шаги:

1. Удобнее переписать как \((y-3x)^2\) — от перестановки слагаемых квадрат не меняется.
2. Квадрат первого члена: \(y^2\).
3. Удвоенное произведение: \(2\cdot y\cdot 3x=6xy\), знак «минус».
4. Квадрат второго члена: \((3x)^2=9x^2\).

Проверка: при \(x=1\), \(y=2\) слева \((-3+2)^2=1\), справа \(9-12+4=1\) — верно.

Если это уравнение \((-3x+y)^2=0\), то \(y-3x=0\), откуда \(y=3x\).

Для уравнения \[ (-3x+y)^2=0 \] ответ: \(y=3x\) (или \(x=\dfrac{y}{3}\)).

Решение по шагам:

1. Квадрат равен нулю только тогда, когда равно нулю само выражение в квадрате: \[ -3x+y=0 \]
2. Переносим \(-3x\) вправо: \[ y=3x \]
3. Если нужно выразить \(x\), делим обе части на 3: \[ x=\frac{y}{3} \]

Проверка: возьмём \(x=2\), тогда \(y=6\). Подставляем: \[ (-3\cdot 2+6)^2=(-6+6)^2=0^2=0 \] — верно.

Вывод: уравнение содержит две переменные, поэтому решений бесконечно много — это все пары вида \((t;\,3t)\). Можно сказать и иначе: квадрат обратился в ноль, потому что \(y\) и \(3x\) равны, то есть множитель \((-3x+y)\) был нулевым.

Это разность квадратов: оба слагаемых — полные квадраты, между ними минус. Применяем формулу \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\), где \(a=x\), \(b=3y\): \[ x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y) \]

Ответ: \((x-3y)(x+3y)\).

Ключевые шаги:

1. Проверяем, что каждое слагаемое — квадрат: \(x^2=(x)^2\), \(9y^2=(3y)^2\).
2. Между ними знак «минус» — значит, это разность квадратов, а не квадрат разности.
3. Записываем произведение разности и суммы тех же выражений: \((x-3y)(x+3y)\).

Проверка: при \(x=5\), \(y=1\) слева \(25-9=16\), справа \((5-3)(5+3)=2\cdot 8=16\) — совпало. Можно проверить и раскрытием скобок: \(x^2+3xy-3xy-9y^2=x^2-9y^2\), средние слагаемые уничтожаются.

Если это уравнение \[ x^2-9y^2=0, \] то раскладываем и пользуемся тем, что произведение равно нулю при нулевом множителе: \[ x-3y=0 \quad \text{или} \quad x+3y=0, \] откуда \[ x=3y \quad \text{или} \quad x=-3y. \] То есть \(x=\pm 3y\), а все решения — пары вида \((3t;\,t)\) и \((-3t;\,t)\).

Для уравнения \[ x^2-9y^2=0 \] ответ: \(x=3y\) или \(x=-3y\), то есть \(x=\pm 3y\).

Решение по шагам:

1. Левая часть — разность квадратов, раскладываем по формуле \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[ x^2-9y^2=(x-3y)(x+3y) \]
2. Получаем уравнение: \[ (x-3y)(x+3y)=0 \]
3. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель: \[ x-3y=0 \quad \text{или} \quad x+3y=0 \]
4. Отсюда: \[ x=3y \quad \text{или} \quad x=-3y \]

Проверка:

• при \(x=3y\), например \(y=2\), \(x=6\): \(36-9\cdot 4=36-36=0\) — верно;
• при \(x=-3y\), например \(y=2\), \(x=-6\): \(36-9\cdot 4=0\) — верно.

Вывод: переменных две, а уравнение одно, поэтому решений бесконечно много — это все пары вида \((3t;\,t)\) и \((-3t;\,t)\), где \(t\) — любое число.