779 Дан вектор p=3a, где a≠0. Как направлен каждый из векторов a, -a, 1/2 a, -2a, 6a по отношению к вектору p? Выразите длины этих векторов через |p|.

Краткий ответ

\[ \vec a \text{ сонаправлен } \vec p,\qquad -\vec a \text{ противоположно направлен } \vec p, \] \[ \frac12\vec a \text{ сонаправлен } \vec p,\qquad -2\vec a \text{ противоположно направлен } \vec p, \] \[ 6\vec a \text{ сонаправлен } \vec p. \]

Длины:

\[ |\vec a|=\frac{|\vec p|}{3},\qquad |-\vec a|=\frac{|\vec p|}{3}, \] \[ \left|\frac12\vec a\right|=\frac{|\vec p|}{6},\qquad |-2\vec a|=\frac{2|\vec p|}{3},\qquad |6\vec a|=2|\vec p|. \]

Как рассуждать

Дано:

\[ \vec p=3\vec a. \]

Так как \(3>0\), векторы \(\vec p\) и \(\vec a\) направлены в одну сторону. Кроме того,

\[ |\vec p|=3|\vec a|, \]

поэтому

\[ |\vec a|=\frac{|\vec p|}{3}. \]

Общее правило: если \(\vec v=k\vec a\), то:

• при \(k>0\) вектор \(\vec v\) сонаправлен \(\vec a\), а значит, и \(\vec p\);
• при \(k<0\) вектор \(\vec v\) противоположно направлен \(\vec a\) и \(\vec p\);
• длина равна \(|k|\cdot|\vec a|\).

Проверим по таблице:

Например, для \(6\vec a\):

\[ |6\vec a|=6|\vec a|=6\cdot\frac{|\vec p|}{3}=2|\vec p|. \]