Логические высказывания. Задание 1. Верно/Неверно. Определите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями (отметьте «+»), а какие - нет («-»)
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Логические высказывания
Задание 1. Верно/Неверно Определите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями (отметьте «+»), а какие - нет («-»):
| Предложения | +/- | | Сегодня идет дождь. | | | Как тебя зовут? | | | Число 5 больше числа 3. | | | Будь внимателен! | | | Информатика - интересный предмет. | |
Задание 2. Логические операции Соедините стрелками логическую операцию с её названием:
| Логические операции | Название | | ¬ | Конъюнкция | | ∨ | Дизъюнкция | | ∧ | Отрицание |
Задание 3. Значение высказывания Определите значение истинности следующих составных логических высказываний:
• «2 + 2 = 4» ∧ «Земля круглая» = ___ • «Солнце светит ночью» ∨ «2 × 2 = 5» = ___ • ¬(«Компьютер - это фрукт») = ___
Задание 4. Заполните таблицу истинности Заполните таблицу истинности для логической операции конъюнкции (∧):
| A | B | A ∧ B | | Истина | Истина | | | Истина | Ложь | | | Ложь | Истина | | | Ложь | Ложь | |
Задание 5. Логическая задача Два друга, Петя и Вася, решили, кто пойдет в магазин. Петя сказал: «Я пойду в магазин только если ты не пойдешь». Вася сказал: «Я пойду в магазин, если ты пойдешь». Кто же в итоге отправился за покупками? Объясните свой ответ, используя логические рассуждения.
Задание 6. Составь выражение Даны три простых высказывания: • A = «Сейчас идет урок информатики» • B = «На улице светит солнце» • C = «Сегодня выходной день»
Составьте сложное логическое высказывание, которое будет истинным, если сейчас идет урок информатики, на улице не светит солнце и сегодня не выходной день.
Логическое выражение: ___
Краткий ответ
| Задание | Ответ |
|---|---|
| 1 | «Сегодня идёт дождь» +, «Как тебя зовут?» −, «Число 5 больше числа 3» +, «Будь внимателен!» −, «Информатика — интересный предмет» − |
| 2 | ¬ — отрицание, ∧ — конъюнкция, ∨ — дизъюнкция |
| 3 | истина; ложь; истина |
| 4 | Истина, Ложь, Ложь, Ложь |
| 5 | Петя не пошёл, в магазин отправился Вася |
| 6 | \(A \land \lnot B \land \lnot C\) |
Задание 1. Что вообще такое высказывание
Принцип. Высказывание — это повествовательное предложение, про которое можно однозначно сказать: истинно оно или ложно. Вопросы, просьбы и приказы истинности не имеют, поэтому высказываниями не являются.
- «Сегодня идёт дождь.» — +: достаточно выглянуть в окно, чтобы проверить.
- «Как тебя зовут?» — −: это вопрос, а не утверждение.
- «Число 5 больше числа 3.» — +, причём истинное высказывание.
- «Будь внимателен!» — −: это побуждение к действию.
- «Информатика — интересный предмет.» — − по строгому определению: слово «интересный» — личная оценка, для одного это истина, для другого ложь, однозначного значения нет. (Некоторые учителя считают такие фразы высказываниями и ставят «+» — если у вас так на уроках, отметьте «+».)
Задание 2. Три знака — три операции
Удобно запоминать по смыслу связки в русском языке:
- \(\lnot A\) — «не A» → отрицание;
- \(A \land B\) — «A и B» → конъюнкция (значок похож на букву «и» — \(\land\), как перевёрнутая Л от «Логическое И»);
- \(A \lor B\) — «A или B» → дизъюнкция.
То есть стрелки: \(\lnot\) → «Отрицание», \(\land\) → «Конъюнкция», \(\lor\) → «Дизъюнкция». Обратите внимание: в таблице задания порядок названий не совпадает с порядком знаков — соединять надо по смыслу, а не построчно.
Задание 3. Значение составного высказывания
Сначала оцениваем каждую простую часть, потом применяем операцию.
- «2 + 2 = 4» — истина; «Земля круглая» — истина. Конъюнкция истинна, когда истинны оба высказывания: \[ «2+2=4» \land «Земля\ круглая» = \text{истина}\]
- «Солнце светит ночью» — ложь; «2 × 2 = 5» — ложь. Дизъюнкция ложна, только когда ложны оба высказывания: \[ «Солнце\ светит\ ночью» \lor «2\times2=5» = \text{ложь}\]
- «Компьютер — это фрукт» — ложь, отрицание переворачивает значение: \[ \lnot(«Компьютер - это\ фрукт») = \text{истина}\]
Задание 4. Таблица истинности конъюнкции
Правило: \(A \land B\) истинно только в первой строке, когда оба высказывания истинны; во всех остальных случаях — ложь (достаточно одного «лжеца»).
| A | B | \(A \land B\) |
|---|---|---|
| Истина | Истина | Истина |
| Истина | Ложь | Ложь |
| Ложь | Истина | Ложь |
| Ложь | Ложь | Ложь |
Сверьтесь: единица («истина») в столбце результата ровно одна — это и есть отличительный признак конъюнкции.
Задание 5. Логическая задача
Обозначим \(П\) — «Петя пойдёт», \(В\) — «Вася пойдёт». Фраза «если A, то B» (запись \(A \to B\)) ложна только в одном случае: A истинно, а B ложно.
- Петя: «пойду, только если ты не пойдёшь» → \(П \to \lnot В\), что равносильно \(В \to \lnot П\).
- Вася: «пойду, если ты пойдёшь» → \(П \to В\), что равносильно \(\lnot В \to \lnot П\).
Разберём два случая:
- Вася идёт (\(В\) истинно): тогда по словам Пети \(В \to \lnot П\) получаем \(\lnot П\) — Петя не идёт.
- Вася не идёт (\(\lnot В\)): тогда по словам Васи \(\lnot В \to \lnot П\) получаем \(\lnot П\) — Петя тоже не идёт.
В обоих случаях Петя не идёт — значит, в магазин отправился Вася.
Проверка подстановкой: \(П =\) ложь, \(В =\) истина. Петя: «ложь \(\to\) ложь» = истина. Вася: «ложь \(\to\) истина» = истина. Оба сказали правду, противоречия нет. А вот если бы Петя пошёл, то по своему обещанию он требует «Вася не идёт», а по обещанию Васи — «Вася идёт»: противоречие, поэтому Петя пойти не мог.
Небольшая честная оговорка: строго логически из условий следует только \(\lnot П\). То, что пошёл именно Вася, опирается на то, что кто-то из двоих за покупками всё-таки отправился.
Задание 6. Составление выражения
Нужно, чтобы одновременно выполнялось: \(A\) истинно, \(B\) ложно, \(C\) ложно. «И» — это конъюнкция, «не» — отрицание:
\[ A \land \lnot B \land \lnot C \]
Проверка: при \(A=1,\ B=0,\ C=0\) получаем \(1 \land 1 \land 1 = 1\) — истинно. Если изменить любое из трёх условий, хотя бы один множитель станет нулём, и всё выражение обратится в ложь. Именно этого и требовало задание.
