108. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции: а) y = x² + 2; б) y = -x² - 1; в) y = (x + 4)²; г) y = -(x - 3)².

Краткий ответ

Графики получаются из шаблона \(y=x^2\) сдвигом и отражением:

• а) \(y=x^2+2\) — сдвиг шаблона на \(2\) единицы вверх;
• б) \(y=-x^2-1\) — отражение шаблона вниз и сдвиг на \(1\) единицу вниз;
• в) \(y=(x+4)^2\) — сдвиг шаблона на \(4\) единицы влево;
• г) \(y=-(x-3)^2\) — отражение шаблона вниз и сдвиг на \(3\) единицы вправо.

Как это устроено

Шаблон \(y=x^2\) имеет вершину в точке \((0;0)\) и ветви, направленные вверх. Любое выражение из задания получается из него двумя действиями:

1. Сдвиг вдоль осей. Если прибавить число к \(x^2\), график поднимается вверх: \[ y=x^2+c \] При \(c>0\) — вверх, при \(c<0\) — вниз.

   Если число стоит в скобках вместе с \(x\), график смещается влево или вправо: \[ y=(x-m)^2 \] Здесь вершина переходит в точку \((m;0)\): при \(m>0\) — вправо, при \(m<0\) — влево. Например, \((x+4)^2\) — это сдвиг на \(4\) влево, потому что \(x+4=x-(-4)\).

2. Отражение. Минус перед квадратом переворачивает ветви вниз: \[ y=-x^2 \]

В общем виде: \[ y=a(x-m)^2+n \] даёт параболу с вершиной \((m;n)\). Если \(a>0\), ветви вверх; если \(a<0\), ветви вниз.

Разбор по пунктам

а) \(y=x^2+2\).
Вершина шаблона \((0;0)\) поднимается на \(2\): получаем \((0;2)\).
Берём точки шаблона \((1;1)\), \((-1;1)\), \((2;4)\), \((-2;4)\) и поднимаем их на \(2\): \[ (1;3),\ (-1;3),\ (2;6),\ (-2;6). \] Ветви направлены вверх.

б) \(y=-x^2-1\).
Сначала отражаем шаблон вниз: точки \((1;-1)\), \((2;-4)\). Затем сдвигаем на \(1\) вниз: \[ (1;-2),\ (-1;-2),\ (2;-5),\ (-2;-5). \] Вершина — \((0;-1)\), ветви вниз.

в) \(y=(x+4)^2\).
Сдвигаем шаблон влево на \(4\). Вершина — \((-4;0)\).
Точки: \[ (-3;1),\ (-5;1),\ (-2;4),\ (-6;4). \] Ветви вверх.

г) \(y=-(x-3)^2\).
Сдвигаем шаблон вправо на \(3\) и отражаем вниз. Вершина — \((3;0)\).
Точки: \[ (4;-1),\ (2;-1),\ (5;-4),\ (1;-4). \] Ветви вниз.

Проверка

Подставь \(x\) в формулу и сравни с точкой на графике. Например, для г) при \(x=4\): \[ y=-(4-3)^2=-1. \] Точка \((4;-1)\) действительно лежит на параболе. Так можно проверить любой пункт.