476 номер
Сверь числа и знаки с фото.
476 Найдите углы параллелограмма ABCD, если: а) ∠A = 84°; б) ∠A − ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C = 142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.
Краткий ответ
- а) \(\angle A=\angle C=84^\circ,\quad \angle B=\angle D=96^\circ\);
- б) \(\angle A=\angle C=117{,}5^\circ=117^\circ30',\quad \angle B=\angle D=62{,}5^\circ=62^\circ30'\);
- в) \(\angle A=\angle C=71^\circ,\quad \angle B=\angle D=109^\circ\);
- г) \(\angle A=\angle C=120^\circ,\quad \angle B=\angle D=60^\circ\);
- д) \(\angle A=\angle C=53^\circ,\quad \angle B=\angle D=127^\circ\).
Как рассуждать
В параллелограмме:
- противоположные углы равны: \(\angle A=\angle C,\ \angle B=\angle D\);
- соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \(\angle A+\angle B=180^\circ\).
а) \(\angle C=\angle A=84^\circ\). Тогда \[ \angle B=\angle D=180^\circ-84^\circ=96^\circ. \]
б) Дано \(\angle A-\angle B=55^\circ\), а также \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Сложим равенства: \[ 2\angle A=235^\circ \Rightarrow \angle A=117{,}5^\circ. \] Значит, \(\angle B=180^\circ-117{,}5^\circ=62{,}5^\circ\). Противоположные углы равны, поэтому \(\angle C=117^\circ30'\), \(\angle D=62^\circ30'\).
в) \(\angle A=\angle C\), поэтому \[ 2\angle A=142^\circ \Rightarrow \angle A=\angle C=71^\circ. \] Тогда \(\angle B=\angle D=180^\circ-71^\circ=109^\circ\).
г) \(\angle A=2\angle B\) и \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Получаем: \[ 3\angle B=180^\circ \Rightarrow \angle B=60^\circ. \] Тогда \(\angle A=120^\circ\), а \(\angle C=120^\circ,\ \angle D=60^\circ\).
д) Рассмотрим треугольник \(ACD\). Сумма его углов \(180^\circ\), поэтому \[ \angle ADC=180^\circ-16^\circ-37^\circ=127^\circ. \] Угол \(ADC\) — это угол \(D\) параллелограмма. Значит, \(\angle B=\angle D=127^\circ\). Соседний с ним угол: \[ \angle A=180^\circ-127^\circ=53^\circ, \] и \(\angle C=\angle A=53^\circ\).
Проверка: во всех пунктах сумма соседних углов равна \(180^\circ\), то есть сумма всех углов параллелограмма \(360^\circ\).
Обсуждение
2 сообщенияА чертёж
Да, вот схема, которую можно перечертить. Масштаб не соблюдаю — важно только расположение углов.
Для пунктов а–г:
A ————————— B
/ /
/ /
D ————————— C
Здесь:
- \(\angle A\) — верхний левый,
- \(\angle B\) — верхний правый,
- \(\angle C\) — нижний правый,
- \(\angle D\) — нижний левый.
Подписывай углы по пунктам:
| пункт | \(\angle A=\angle C\) | \(\angle B=\angle D\) |
|---|---|---|
| а) | \(84^\circ\) | \(96^\circ\) |
| б) | \(117^\circ30'\) | \(62^\circ30'\) |
| в) | \(71^\circ\) | \(109^\circ\) |
| г) | \(120^\circ\) | \(60^\circ\) |
Для пункта д) нужен тот же параллелограмм, но с диагональю \(AC\):
A ————————— B
/ \ /
/ \ /
D ————\———— C
На чертеже:
- отметь \(\angle CAD=16^\circ\) — у вершины \(A\), между \(AC\) и \(AD\);
- отметь \(\angle ACD=37^\circ\) — у вершины \(C\), между \(CA\) и \(CD\);
- в треугольнике \(ACD\) тогда \(\angle ADC=127^\circ\).
Значит, у параллелограмма:
\[ \angle B=\angle D=127^\circ,\qquad \angle A=\angle C=180^\circ-127^\circ=53^\circ. \]
Проверка: \(\angle A+\angle B=53^\circ+127^\circ=180^\circ\).
