66 номер
Сверь числа и знаки с фото.
66 Сократите дробь: а) \(\frac{x^2-11x+24}{x^2-64}\); б) \(\frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1}\).
Кратко
а) \(\dfrac{x-3}{x+8}\), где \(x\ne 8\) и \(x\ne -8\);
б) \(\dfrac{y+5}{2y+1}\), где \(y\ne \dfrac12\) и \(y\ne -\dfrac12\).
Как рассуждаем
Сократить дробь — значит разложить числитель и знаменатель на множители и убрать одинаковые множители. Сокращать отдельные слагаемые нельзя. Квадратный трёхчлен раскладывается по формуле
\[
ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2),
\]
где \(x_1,x_2\) — его корни.
а) Найдём корни числителя: \[ x^2-11x+24=0, \] \[ D=(-11)^2-4\cdot1\cdot24=121-96=25, \] \[ x_{1,2}=\frac{11\pm5}{2},\qquad x_1=8,\quad x_2=3. \] Значит, \[ x^2-11x+24=(x-8)(x-3). \] Знаменатель раскладываем как разность квадратов: \[ x^2-64=(x-8)(x+8). \] Получаем: \[ \frac{x^2-11x+24}{x^2-64} = \frac{(x-8)(x-3)}{(x-8)(x+8)} = \frac{x-3}{x+8}. \]
б) Найдём корни числителя: \[ 2y^2+9y-5=0, \] \[ D=9^2-4\cdot2\cdot(-5)=81+40=121, \] \[ y_{1,2}=\frac{-9\pm11}{4},\qquad y_1=\frac12,\quad y_2=-5. \] Тогда \[ 2y^2+9y-5 = 2\left(y-\frac12\right)(y+5) = (2y-1)(y+5). \] Знаменатель: \[ 4y^2-1=(2y-1)(2y+1). \] Сокращаем на \(2y-1\): \[ \frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1} = \frac{(2y-1)(y+5)}{(2y-1)(2y+1)} = \frac{y+5}{2y+1}. \]
Проверка
При \(x=0\): \[ \frac{24}{-64}=-\frac38,\qquad \frac{-3}{8}=-\frac38. \] При \(y=0\): \[ \frac{-5}{-1}=5,\qquad \frac{5}{1}=5. \] Значения совпадают, значит, сокращение выполнено верно.
Обсуждение
4 сообщенияВот так реши
Да, решать нужно именно так: разложить числитель и знаменатель на множители и сократить общий множитель.
1) Дробь с \(a\): \[ \frac{2a^2-5a-3}{3a-9} \] \[ 2a^2-5a-3=(a-3)(2a+1),\qquad 3a-9=3(a-3). \] \[ \frac{2a^2-5a-3}{3a-9} = \frac{(a-3)(2a+1)}{3(a-3)} = \frac{2a+1}{3}. \] У тебя это решено верно. Ограничение: \(a\ne3\).
2) Дробь с \(b\): \[ \frac{9-16b^2}{b^2-b-12} \] \[ 9-16b^2=(3-4b)(3+4b), \] \[ b^2-b-12=(b-4)(b+3). \] Общих множителей нет, поэтому дробь не сокращается: \[ \frac{9-16b^2}{b^2-b-12} = \frac{(3-4b)(3+4b)}{(b-4)(b+3)}. \] Ограничения: \(b\ne4\), \(b\ne-3\).
3) Дробь с \(y\): \[ \frac{2y^2+7y+3}{y^2-9} \] \[ 2y^2+7y+3=(2y+1)(y+3), \] \[ y^2-9=(y-3)(y+3). \] \[ \frac{2y^2+7y+3}{y^2-9} = \frac{(2y+1)(y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2y+1}{y-3}. \] Это тоже верно. Ограничения: \(y\ne3\), \(y\ne-3\).
4) Дробь с \(p\): \[ \frac{p^2-11p+10}{20+8p-p^2} \] \[ p^2-11p+10=(p-10)(p-1), \] \[ 20+8p-p^2=-(p^2-8p-20)=-(p-10)(p+2). \] \[ \frac{p^2-11p+10}{20+8p-p^2} = \frac{(p-10)(p-1)}{-(p-10)(p+2)} = -\frac{p-1}{p+2} = \frac{1-p}{p+2}. \] Ограничения: \(p\ne10\), \(p\ne-2\).
Проверка для последней дроби: при \(p=0\) получается \(\frac{10}{20}=\frac12\), и по ответу \(\frac{1-0}{0+2}=\frac12\).
Пункт а) на правой странице обрезан — если он нужен, пришли его целиком.
66 номер реши так как в тетради
Оформляю номер 66 по образцу тетради: через дискриминант, корни и разложение на множители.
66. а) \[ \frac{x^2-11x+24}{x^2-64} \] \[ D=(-11)^2-4\cdot1\cdot24=121-96=25=5^2 \] \[ x_1=\frac{11+5}{2}=8,\qquad x_2=\frac{11-5}{2}=3 \] \[ x^2-11x+24=(x-8)(x-3) \] \[ x^2-64=(x-8)(x+8) \] \[ \frac{x^2-11x+24}{x^2-64} = \frac{(x-8)(x-3)}{(x-8)(x+8)} = \frac{x-3}{x+8} \]
Ответ: \(\dfrac{x-3}{x+8}\).
66. б) \[ \frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1} \] \[ D=9^2-4\cdot2\cdot(-5)=81+40=121=11^2 \] \[ y_1=\frac{-9+11}{4}=\frac{2}{4}=\frac12,\qquad y_2=\frac{-9-11}{4}=\frac{-20}{4}=-5 \] \[ 2y^2+9y-5 = 2\left(y-\frac12\right)(y+5) = (2y-1)(y+5) \] \[ 4y^2-1=(2y-1)(2y+1) \] \[ \frac{2y^2+9y-5}{4y^2-1} = \frac{(2y-1)(y+5)}{(2y-1)(2y+1)} = \frac{y+5}{2y+1} \]
Ответ: \(\dfrac{y+5}{2y+1}\).
В обоих пунктах принцип один: раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем одинаковые скобки.
