Контрольная работа «Элементы комбинаторики. Геометрическая вер[обрезано]» Вариант 1. 1. Вычислите: 4!

Ответ:

1. \(4! = 24\)
2. \(C(6,2)=15\)
3. \(6\) чисел
4. \(20\), если имеется в виду \(\frac{5!}{3!}\)
5. \(\frac{3}{8}=0{,}375\)
6. \(\frac{\pi}{16}\approx0{,}196\), то есть около \(19{,}6\%\)
7. \(C(5,3)=10\)

Разбор:

1. \(4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24\).

2. \[ C(6,2)=\frac{6!}{2!(6-2)!} =\frac{6\cdot5}{2}=15. \]

3. Нужно использовать все три цифры \(2,4,6\) без повторений. Число перестановок: \[ 3! = 6. \] Это числа \(246,264,426,462,624,642\).

4. На фото запись читается как \(5\frac13!\). В школьном курсе факториал определён только для целых неотрицательных чисел, поэтому буквально такое выражение не вычисляется. Скорее всего, имелось в виду \[ \frac{5!}{3!}=\frac{5\cdot4\cdot3!}{3!}=20. \] Если в оригинале действительно стоит смешанное число, лучше уточнить задание у учителя.

5. Геометрическая вероятность — это отношение подходящей длины ко всей длине отрезка: \[ P=\frac{8-5}{8-0}=\frac38=0{,}375. \]

6. Вероятность попадания в круг при случайном выборе точки в квадрате: \[ P=\frac{S_{\text{круга}}}{S_{\text{квадрата}}} =\frac{\pi\cdot3^2}{12\cdot12} =\frac{9\pi}{144} =\frac{\pi}{16}\approx0{,}196. \]

7. Строка треугольника Паскаля для \(n=5\): \[ 1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1. \] Значение \(C(5,3)\) — это \(10\).

Что запомнить: факториал считает перестановки, \(C(n,k)\) — выбор без учёта порядка, а геометрическая вероятность — отношение подходящей длины или площади ко всей возможной.