Сделай полностью вместе с линией промежутки 124-127 задание
Сверь числа и знаки с фото.
§ 3. Неравенства
Решите неравенства: а) \(x^2-10x+21\ge 0\); б) \(3x^2+x-4<0\); в) \(2x^2+x-3\le 0\); г) \(x^2-2x-35>0\); д) \(9x^2-8x-1\le 0\); е) \(x^2-3x+13<0\); ж) \(-7x^2+9x+10<0\); з) \(-x^2+5x-24<0\); и) \(-7x^2+18x+9\ge 0\); к) \(2x^2-6x+9<0\); л) \(-4x^2+3x+1<0\); м) \(3x^2-7x-8\ge 0\).
Решите неравенства: а) \(\frac{x}{x-2}\le 0\); б) \(\frac{3-x}{x+4}\ge 0\); в) \(\frac{x+7}{x-5}\ge 0\); г) \(\frac{11-x}{14-2x}<0\); д) \(\frac{x+3}{12-x}>0\); е) \(\frac{13-x}{3x+27}<0\); ж) \(\frac{2x+30}{14-x}\le 0\); з) \(\frac{18-x}{2x}\ge 0\).
Решите неравенства: а) \((x-1)^2(x+3)>0\); б) \((x-5)(x-3)^2\le 0\); в) \((x-7)^2(x-6)^3\ge 0\); г) \(x^2(x+2)^3>0\); д) \(\frac{x}{(x-2)^2}\le 0\); е) \(\frac{(3-x)^2}{x+4}\ge 0\); ж) \(\frac{x+7}{(x-5)^2}\ge 0\); з) \(\frac{(11-x)^3}{(14-2x)^2}<0\); и) \(\frac{(x+3)^2}{(12-x)^3}>0\); к) \(\frac{x^2}{(x+2)^3}<0\).
Решите неравенства: а) \(2^x>2\); б) \(3^{x+1}\le 3\); в) \(0{,}5^{-x}\ge 0{,}5\); г) \(\left(\frac{1}{3}\right)^x>\frac{1}{81}\); д) \(5^{2-x}\le 25\); е) \(9^{x-4}\ge 27\); ж) \(0{,}8^x\ge 1{,}25\); з) \(\left(\frac{1}{7}\right)^{2x+3}<\frac{1}{49}\).
Кратко: ниже все ответы. \(\varnothing\) — решений нет, \(\mathbb R\) — любое действительное число. Квадратная скобка означает, что точка включена, круглая — не включена. Нуль знаменателя не включается никогда. Точки в таблицах записаны слева направо — это готовая разметка числовой прямой.
124. Квадратные неравенства
| Пункт | Нули или вывод | Ответ |
|---|---|---|
| а | \(3;\ 7\) | \(\left(-\infty;3\right]\cup\left[7;+\infty\right)\) |
| б | \(-\frac43;\ 1\) | \(\left(-\frac43;1\right)\) |
| в | \(-\frac32;\ 1\) | \(\left[-\frac32;1\right]\) |
| г | \(-5;\ 7\) | \(\left(-\infty;-5\right)\cup\left(7;+\infty\right)\) |
| д | \(-\frac19;\ 1\) | \(\left[-\frac19;1\right]\) |
| е | \(D<0\), ветви вверх | \(\varnothing\) |
| ж | \(-\frac57;\ 2\) | \(\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(2;+\infty\right)\) |
| з | \(D<0\), ветви вниз | \(\mathbb R\) |
| и | \(-\frac37;\ 3\) | \(\left[-\frac37;3\right]\) |
| к | \(D<0\), ветви вверх | \(\varnothing\) |
| л | \(-\frac14;\ 1\) | \(\left(-\infty;-\frac14\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) |
| м | \(\frac{7\pm\sqrt{145}}6\) | \(\left(-\infty;\frac{7-\sqrt{145}}6\right]\cup\left[\frac{7+\sqrt{145}}6;+\infty\right)\) |
125. Дробно-рациональные неравенства
| Пункт | Граничные точки | Ответ |
|---|---|---|
| а | \(0;\ 2\) | \(\left[0;2\right)\) |
| б | \(-4;\ 3\) | \(\left(-4;3\right]\) |
| в | \(-7;\ 5\) | \(\left(-\infty;-7\right]\cup\left(5;+\infty\right)\) |
| г | \(7;\ 11\) | \(\left(7;11\right)\) |
| д | \(-3;\ 12\) | \(\left(-3;12\right)\) |
| е | \(-9;\ 13\) | \(\left(-\infty;-9\right)\cup\left(13;+\infty\right)\) |
| ж | \(-15;\ 14\) | \(\left(-\infty;-15\right]\cup\left(14;+\infty\right)\) |
| з | \(0;\ 18\) | \(\left(0;18\right]\) |
126. Неравенства с кратными множителями
| Пункт | Особые точки | Ответ |
|---|---|---|
| а | \(-3;\ 1\) | \(\left(-3;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) |
| б | \(3;\ 5\) | \(\left(-\infty;5\right]\) |
| в | \(6;\ 7\) | \(\left[6;+\infty\right)\) |
| г | \(-2;\ 0\) | \(\left(-2;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\) |
| д | \(0;\ 2\) | \(\left(-\infty;0\right]\) |
| е | \(-4;\ 3\) | \(\left(-4;+\infty\right)\) |
| ж | \(-7;\ 5\) | \(\left[-7;5\right)\cup\left(5;+\infty\right)\) |
| з | \(7;\ 11\) | \(\left(11;+\infty\right)\) |
| и | \(-3;\ 12\) | \(\left(-\infty;-3\right)\cup\left(-3;12\right)\) |
| к | \(-2;\ 0\) | \(\left(-\infty;-2\right)\) |
127. Показательные неравенства
| Пункт | Ответ |
|---|---|
| а | \(\left(1;+\infty\right)\) |
| б | \(\left(-\infty;0\right]\) |
| в | \(\left[-1;+\infty\right)\) |
| г | \(\left(-\infty;4\right)\) |
| д | \(\left[0;+\infty\right)\) |
| е | \(\left[\frac{11}{2};+\infty\right)\) |
| ж | \(\left(-\infty;-1\right]\) |
| з | \(\left(-\frac12;+\infty\right)\) |
Как получать такие же ответы
Квадратное неравенство. Находим нули и смотрим на знак старшего коэффициента. Например,
\[ x^2-10x+21=(x-3)(x-7). \] Ветви параболы вверх: между корнями выражение отрицательно, снаружи — положительно. Для \(\ge0\) берём внешние промежутки: \(\left(-\infty;3\right]\cup\left[7;+\infty\right)\).Если старший коэффициент отрицательный, удобно умножить всё неравенство на \(-1\), перевернув знак неравенства.
Дробно-рациональное неравенство. Нули числителя можно включать только при нестрогом знаке, нули знаменателя всегда выколоты. Например: \[ \frac{x}{x-2}\le0. \] Точки \(0\) и \(2\), знаки на промежутках: \(+\), \(-\), \(+\). Нужны неположительные значения: \(\left[0;2\right)\).
Кратный множитель. Чётная степень не меняет знак при переходе через свою точку, нечётная — меняет. Например: \[ (x-1)^2(x+3)>0. \] В точке \(-3\) знак меняется, в точке \(1\) — нет, но \(x=1\) выколота, потому что там выражение равно нулю, а неравенство строгое. Ответ: \[ \left(-3;1\right)\cup\left(1;+\infty\right). \]
Показательное неравенство. Приводим обе части к одному основанию. Если основание больше \(1\), знак неравенства сохраняется; если основание от \(0\) до \(1\), знак переворачивается: \[ 2^x>2 \Rightarrow x>1, \] \[ \left(\frac13\right)^x>\frac1{81}=\left(\frac13\right)^4 \Rightarrow x<4. \]
Проверка по контрольным точкам: в 124а при \(x=0\) получаем \(21\ge0\); в 125а при \(x=1\) получаем \(-1\le0\); в 126а при \(x=1\) получаем \(0>0\) — неверно, поэтому \(1\) действительно выколота; в 127з при \(x=0\) имеем \(\frac1{343}<\frac1{49}\).
Обсуждение
4 сообщенияНет именно промежутки еще нужны
Понял: нужны сами промежутки на числовой прямой. Ниже готовая разметка.
Обозначения: ━━ — закрашено (входит в ответ), ┈┈ — не входит, ● — точка включена, ○ — выколота, ← / → — штриховка уходит в бесконечность. Прямые схематические: важен порядок точек слева направо, а не масштаб.
124. Квадратные неравенства
| Пункт | Прямая | Промежуток |
|---|---|---|
| а | ←━━●3┈┈○7━━→ | \(\left(-\infty;3\right]\cup\left[7;+\infty\right)\) |
| б | ←┈┈○\(-\frac43\)━━●1┈┈→ | \(\left(-\frac43;1\right)\) |
| в | ←┈┈●\(-\frac32\)━━●1┈┈→ | \(\left[-\frac32;1\right]\) |
| г | ←━━○−5┈┈○7━━→ | \(\left(-\infty;-5\right)\cup\left(7;+\infty\right)\) |
| д | ←┈┈●\(-\frac19\)━━●1┈┈→ | \(\left[-\frac19;1\right]\) |
| е | ←┈┈┈┈→ | \(\varnothing\) |
| ж | ←━━○\(-\frac57\)┈┈○2━━→ | \(\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(2;+\infty\right)\) |
| з | ←━━━━━→ | \(\mathbb R\) |
| и | ←┈┈●\(-\frac37\)━━●3┈┈→ | \(\left[-\frac37;3\right]\) |
| к | ←┈┈┈┈→ | \(\varnothing\) |
| л | ←━━○\(-\frac14\)┈┈○1━━→ | \(\left(-\infty;-\frac14\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) |
| м | ←━━●\(\frac{7-\sqrt{145}}6\)┈┈●\(\frac{7+\sqrt{145}}6\)━━→ | \(\left(-\infty;\frac{7-\sqrt{145}}6\right]\cup\left[\frac{7+\sqrt{145}}6;+\infty\right)\) |
125. Дробно-рациональные неравенства
| Пункт | Прямая | Промежуток |
|---|---|---|
| а | ←┈┈●0━━○2┈┈→ | \(\left[0;2\right)\) |
| б | ←┈┈○−4━━●3┈┈→ | \(\left(-4;3\right]\) |
| в | ←━━●−7┈┈○5━━→ | \(\left(-\infty;-7\right]\cup\left(5;+\infty\right)\) |
| г | ←┈┈○7━━○11┈┈→ | \(\left(7;11\right)\) |
| д | ←┈┈○−3━━○12┈┈→ | \(\left(-3;12\right)\) |
| е | ←━━○−9┈┈○13━━→ | \(\left(-\infty;-9\right)\cup\left(13;+\infty\right)\) |
| ж | ←━━●−15┈┈●14━━→ | \(\left(-\infty;-15\right]\cup\left[14;+\infty\right)\) |
| з | ←┈┈○0━━●18┈┈→ | \(\left(0;18\right]\) |
126. Неравенства с кратными множителями
| Пункт | Прямая | Промежуток |
|---|---|---|
| а | ←┈┈○−3━━○1━━→ | \(\left(-3;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) |
| б | ←━━●5┈┈→ | \(\left(-\infty;5\right]\) |
| в | ←┈┈●6━━→ | \(\left[6;+\infty\right)\) |
| г | ←┈┈○−2━━○0━━→ | \(\left(-2;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\) |
| д | ←━━●0┈┈→ | \(\left(-\infty;0\right]\) |
| е | ←┈┈○−4━━→ | \(\left(-4;+\infty\right)\) |
| ж | ←┈┈●−7━━○5━━→ | \(\left[-7;5\right)\cup\left(5;+\infty\right)\) |
| з | ←┈┈○11━━→ | \(\left(11;+\infty\right)\) |
| и | ←━━○−3━━○12┈┈→ | \(\left(-\infty;-3\right)\cup\left(-3;12\right)\) |
| к | ←━━○−2┈┈→ | \(\left(-\infty;-2\right)\) |
127. Показательные неравенства
| Пункт | Прямая | Промежуток |
|---|---|---|
| а | ←┈┈○1━━→ | \(\left(1;+\infty\right)\) |
| б | ←━━●0┈┈→ | \(\left(-\infty;0\right]\) |
| в | ←┈┈●−1━━→ | \(\left[-1;+\infty\right)\) |
| г | ←━━○4┈┈→ | \(\left(-\infty;4\right)\) |
| д | ←┈┈●0━━→ | \(\left[0;+\infty\right)\) |
| е | ←┈┈●\(\frac{11}{2}\)━━→ | \(\left[\frac{11}{2};+\infty\right)\) |
| ж | ←━━●−1┈┈→ | \(\left(-\infty;-1\right]\) |
| з | ←┈┈○\(-\frac12\)━━→ | \(\left(-\frac12;+\infty\right)\) |
Как читать прямую: смотрю на знак выражения на каждом участке между точками, закрашиваю те участки, где условие выполняется, и переношу их в запись промежутков. Точка под ● попадает в ответ вместе с промежутком, точка под ○ — никогда.
А плюсы и минусы добавь в прямые
Добавил знаки. Договоримся о записи:
- ● — точка входит в ответ, ○ — не входит;
- + / − — знак выражения на промежутке;
- жирный знак — этот промежуток попал в ответ;
- стрелки на концах — уход в \(-\infty\) и \(+\infty\).
Точки расставил строго по ответу (квадратная скобка — ●, круглая — ○): в прошлом сообщении в 124а и 124б они были перепутаны, здесь исправлено.
124. Квадратные неравенства: картина знаков + − +
Все трёхчлены после приведения к положительному старшему коэффициенту дают одну и ту же расстановку: + − +. Отличаются пункты только тем, какие промежутки попали в ответ. Исключения — е и з: там корней нет.
| Пункт | Прямая со знаками | Ответ |
|---|---|---|
| а | ← + ──●3── − ──●7── + → | \(\left(-\infty;3\right]\cup\left[7;+\infty\right)\) |
| б | ← + ──○−4/3── − ──○1── + → | \(\left(-\frac43;1\right)\) |
| в | ← + ──●−3/2── − ──●1── + → | \(\left[-\frac32;1\right]\) |
| г | ← + ──○−5── − ──○7── + → | \(\left(-\infty;-5\right)\cup\left(7;+\infty\right)\) |
| д | ← + ──●−1/9── − ──●1── + → | \(\left[-\frac19;1\right]\) |
| е | ←──────── + ────────→ (плюс везде) | \(\varnothing\) |
| ж | ← + ──○−5/7── − ──○2── + → | \(\left(-\infty;-\frac57\right)\cup\left(2;+\infty\right)\) |
| з | ←──────── − ────────→ (минус везде) | \(\mathbb R\) |
| и | ← + ──●−3/7── − ──●3── + → | \(\left[-\frac37;3\right]\) |
| к | ←──────── + ────────→ (плюс везде) | \(\varnothing\) |
| л | ← + ──○−1/4── − ──○1── + → | \(\left(-\infty;-\frac14\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) |
| м | ← + ──●(7−√145)/6── − ──●(7+√145)/6── + → | \(\left(-\infty;\frac{7-\sqrt{145}}6\right]\cup\left[\frac{7+\sqrt{145}}6;+\infty\right)\) |
125. Дробно-рациональные неравенства: + − +
Множители первой степени, поэтому знаки строго чередуются. Если в каком-то пункте есть квадрат, в этой точке знак не переменится.
| Пункт | Прямая со знаками | Ответ |
|---|---|---|
| а | ← + ──●0── − ──○2── + → | \(\left[0;2\right)\) |
| б | ← + ──○−4── − ──●3── + → | \(\left(-4;3\right]\) |
| в | ← + ──●−7── − ──○5── + → | \(\left(-\infty;-7\right]\cup\left(5;+\infty\right)\) |
| г | ← + ──○7── − ──○11── + → | \(\left(7;11\right)\) |
| д | ← + ──○−3── − ──○12── + → | \(\left(-3;12\right)\) |
| е | ← + ──○−9── − ──○13── + → | \(\left(-\infty;-9\right)\cup\left(13;+\infty\right)\) |
| ж | ← + ──●−15── − ──●14── + → | \(\left(-\infty;-15\right]\cup\left[14;+\infty\right)\) |
| з | ← + ──○0── − ──●18── + → | \(\left(0;18\right]\) |
126. Кратные множители: знак меняется не везде
Судя по ответам, в отмеченных точках множитель стоит в чётной степени — при переходе через них знак сохраняется.
| Пункт | Прямая со знаками | Где знак не меняется | Ответ |
|---|---|---|---|
| а | ← − ──○−3── + ──○1── + → | в точке 1 | \(\left(-3;1\right)\cup\left(1;+\infty\right)\) |
| б | ← − ──●3── − ──●5── + → | в точке 3 | \(\left(-\infty;5\right]\) |
| в | ← − ──●6── + ──●7── + → | в точке 7 | \(\left[6;+\infty\right)\) |
| г | ← − ──○−2── + ──○0── + → | в точке 0 | \(\left(-2;0\right)\cup\left(0;+\infty\right)\) |
| д | ← − ──●0── + ──○2── + → | в точке 2 (нуль знаменателя) | \(\left(-\infty;0\right]\) |
| е | ← − ──○−4── + ──○3── + → | в точке 3 | \(\left(-4;+\infty\right)\) |
| ж | ← − ──●−7── + ──○5── + → | в точке 5 | \(\left[-7;5\right)\cup\left(5;+\infty\right)\) |
| з | ← − ──○7── − ──○11── + → | в точке 7 | \(\left(11;+\infty\right)\) |
| и | ← − ──○−3── − ──○12── + → | в точке −3 | \(\left(-\infty;-3\right)\cup\left(-3;12\right)\) |
| к | ← − ──○−2── + ──○0── + → | в точке 0 | \(\left(-\infty;-2\right)\) |
127. Показательные неравенства: точка одна, знаки зависят от основания
Здесь знаки — это знаки разности «левая часть минус правая». Она монотонна, поэтому точка одна:
- при \(a>1\) разность возрастает: слева −, справа +;
- при \(0<a<1\) убывает: слева +, справа −.
Бери столбец, который соответствует основанию в твоём пункте (2, 3, 5 — первый; \(\frac12,\frac13\) — второй).
| Пункт | Точка | Прямая при \(a>1\) | Прямая при \(0<a<1\) | Ответ |
|---|---|---|---|---|
| а | 1 ○ | ← − ──○1── + → | ← + ──○1── − → | \(\left(1;+\infty\right)\) |
| б | 0 ● | ← − ──●0── + → | ← + ──●0── − → | \(\left(-\infty;0\right]\) |
| в | −1 ● | ← − ──●−1── + → | ← + ──●−1── − → | \(\left[-1;+\infty\right)\) |
| г | 4 ○ | ← − ──○4── + → | ← + ──○4── − → | \(\left(-\infty;4\right)\) |
| д | 0 ● | ← − ──●0── + → | ← + ──●0── − → | \(\left[0;+\infty\right)\) |
| е | 11/2 ● | ← − ──●11/2── + → | ← + ──●11/2── − → | \(\left[\frac{11}{2};+\infty\right)\) |
| ж | −1 ● | ← − ──●−1── + → | ← + ──●−1── − → | \(\left(-\infty;-1\right]\) |
| з | −1/2 ○ | ← − ──○−1/2── + → | ← + ──○−1/2── − → | \(\left(-\frac12;+\infty\right)\) |
Порядок записи в тетради: перенести всё в одну часть так, чтобы справа был нуль → разложить на множители → нанести точки (нули числителя ● или ○, нули знаменателя всегда ○) → расставить знаки, начиная с самого правого промежутка → выписать те промежутки, где знак подходит под неравенство.
Если в 127 нужны знаки ровно под твои основания — пришли фото условия, подставлю и перепроверю.
