Решение треугольников 1. Две стороны треугольника равны 9 см и 11 см, а угол между ними 135°. Найдите третью сторону треугольника.

Краткий ответ

1. Третья сторона: \(c=\sqrt{202+99\sqrt2}\approx 18{,}5\) см.
2. \(AC=\dfrac{5\sqrt6}{2}\approx 6{,}12\) см; \(R=\dfrac{5\sqrt2}{2}\approx 3{,}54\) см.
3. Треугольник тупоугольный.
4. Периметр \(P=15\) см.

Ключевые шаги и принцип

Главная идея. В «решении треугольников» работают два инструмента:

• теорема косинусов \(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma\) — когда известны две стороны и угол между ними (или все три стороны);
• теорема синусов \(\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R\) — когда есть сторона и противолежащий ей угол.

1. Две стороны 9 см и 11 см, угол между ними \(135^\circ\)

\[ c^{2}=9^{2}+11^{2}-2\cdot 9\cdot 11\cos 135^\circ \]

Так как \(\cos 135^\circ=-\dfrac{\sqrt2}{2}\), последнее слагаемое становится положительным:

\[ c^{2}=81+121+99\sqrt2=202+99\sqrt2\approx 342{,}01 \] \[ c\approx 18{,}5\ \text{см} \]

Смысл: угол тупой, поэтому третья сторона больше «прямоугольного» случая \(\sqrt{202}\approx 14{,}2\).

2. \(BC=5\), \(\angle A=45^\circ\), \(\angle B=60^\circ\)

Сначала третий угол: \(\angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\) (нужен для проверки, в решении не обязателен).

Сторона \(AC\) лежит против угла \(B\), а \(BC=5\) — против угла \(A\):

\[ \frac{AC}{\sin 60^\circ}=\frac{BC}{\sin 45^\circ} \Rightarrow AC=5\cdot\frac{\sqrt3/2}{\sqrt2/2}=\frac{5\sqrt6}{2}\approx 6{,}12\ \text{см} \]

Радиус описанной окружности — из того же равенства, равного \(2R\):

\[ 2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{5}{\sqrt2/2}=5\sqrt2 \Rightarrow R=\frac{5\sqrt2}{2}\approx 3{,}54\ \text{см} \]

3. Стороны 13, 10 и 7 см

Сравниваем квадрат наибольшей стороны с суммой квадратов двух других:

\[ 13^{2}=169,\qquad 10^{2}+7^{2}=149 \]

\(169>149\), значит угол, лежащий против стороны 13, тупой → треугольник тупоугольный. (Если было бы равенство — прямоугольный, если меньше — остроугольный.)

4. Сторона на 2 см больше другой, угол \(120^\circ\), третья сторона 7 см

Пусть стороны \(x\) и \(x+2\), угол между ними \(120^\circ\), против него сторона 7:

\[ 49=x^{2}+(x+2)^{2}-2x(x+2)\cos 120^\circ \]

\(\cos 120^\circ=-\dfrac12\), поэтому \(-\,2x(x+2)\cdot\left(-\frac12\right)=+x(x+2)\):

\[ 49=x^{2}+x^{2}+4x+4+x^{2}+2x=3x^{2}+6x+4 \] \[ 3x^{2}+6x-45=0 \Rightarrow x^{2}+2x-15=0 \Rightarrow x=3 \ (\text{корень } -5 \text{ не подходит}) \]

Стороны \(3\), \(5\), \(7\) см, периметр: \[ P=3+5+7=15\ \text{см} \]

Проверка: \(\cos\gamma=\dfrac{3^{2}+5^{2}-7^{2}}{2\cdot 3\cdot 5}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac12\), то есть угол действительно \(120^\circ\). ✔