реши и напиши все формулы которые использовал

Что это за обозначение

\(x_v\) — это не скорость и не умножение. Здесь \(v\) — это индекс (маленькая буква-метка) от английского vertex — «вершина». То есть \(x_v\) читается как «икс с индексом вэ» и означает:

абсцисса (координата \(x\)) вершины параболы.

Аналогично \(y_v\) — ордината вершины, то есть координата \(y\) той же точки.

Почему индекс, а не множитель

Сравни:

• \(2x\) — умножение: \(2\cdot x\);
• \(x_v\) — просто имя величины, как фамилия у человека. Никакого действия между \(x\) и \(v\) нет.

Индекс нужен, чтобы не путать разные «иксы»: \(x\) — любая точка графика, а \(x_v\) — одна конкретная точка, вершина.

Другие записи того же самого

В разных учебниках вершину обозначают по-разному, но смысл один:

\[x_v=x_{\text{в}}=x_0,\qquad y_v=y_{\text{в}}=y_0\]

Иногда пишут просто \(m\) и \(n\): вершина \((m;\,n)\).

В нашем примере

Для \(y=0{,}5x^2+x-4\):

\[x_v=-\frac{b}{2a}=-1,\qquad y_v=-4{,}5\]

Значит, вершина — точка \((-1;\,-4{,}5)\): \(x_v=-1\), \(y_v=-4{,}5\). То есть «икс вершины равен минус единице, игрек вершины равен минус четырём целым пяти десятым».

Если хочешь, могу показать, как то же решение записывается через \(x_0\) и \(y_0\), — чтобы ты не сбивался, если учитель пишет именно так.

Одно и то же, другая запись

Обозначения \(x_v,\,y_v\) и \(x_0,\,y_0\) — это одна и та же точка, просто разные буквы-индексы. В таблице соответствие:

Решение для \(y=0{,}5x^2+x-4\) в записи \(x_0,\,y_0\)

1. Коэффициенты: \[a=0{,}5,\quad b=1,\quad c=-4,\quad a>0\ \Rightarrow\ \text{ветви вверх, вершина — минимум}\]

2. Абсцисса вершины: \[x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot0{,}5}=-1\]

3. Ордината вершины — подставляем \(x_0\) в формулу функции: \[y_0=y(x_0)=0{,}5\cdot(-1)^2+(-1)-4=-4{,}5\] Тот же результат по второй формуле: \[y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4\cdot0{,}5\cdot(-4)-1^2}{4\cdot0{,}5}=\frac{-8-1}{2}=-4{,}5\]

4. Нули функции — корни \(0{,}5x^2+x-4=0\), то есть \(x^2+2x-8=0\): \[D=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=36,\qquad x_{1,2}=\frac{-2\pm6}{2}\] \[x_1=-4,\qquad x_2=2\]

Ответ: вершина \((x_0;\,y_0)=(-1;\,-4{,}5)\), нули \(x_1=-4\), \(x_2=2\).

Зачем вообще вводят \(x_0\) и \(y_0\)

С ними параболу удобно записать в виде с выделенной вершиной:

\[y=a(x-x_0)^2+y_0\]

Проверим на нашем примере:

\[y=0{,}5\bigl(x-(-1)\bigr)^2+(-4{,}5)=0{,}5(x+1)^2-4{,}5\]

Раскроем скобки: \[0{,}5(x^2+2x+1)-4{,}5=0{,}5x^2+x+0{,}5-4{,}5=0{,}5x^2+x-4\]

Получилось исходное выражение — значит, \(x_0=-1\) и \(y_0=-4{,}5\) найдены верно.

Что смотреть на контрольной

1. Нашли \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\) — сразу пиши «ось симметрии \(x=x_0\)».
2. Подставили в функцию — получили \(y_0\), вершина \((x_0;y_0)\).
3. Нули через \(D\) или Виета.
4. Проверка: \(\dfrac{x_1+x_2}{2}=x_0\). У нас \(\dfrac{-4+2}{2}=-1\) — сходится.

Если учитель требует именно вид \(y=a(x-x_0)^2+y_0\), то ответ записывай так: \(y=0{,}5(x+1)^2-4{,}5\).

Коротко

Это то же уравнение \(0{,}5x^2+x-4=0\), только умноженное на \(2\). От умножения обеих частей на одно и то же ненулевое число корни не меняются, а коэффициенты становятся целыми — решать удобнее.

Подробно, по слагаемым

Исходное условие нулей функции:

\[0{,}5x^2+x-4=0\]

Умножаем каждое слагаемое на \(2\):

\[2\cdot0{,}5x^2+2\cdot x+2\cdot(-4)=0\]

Считаем:

• \(2\cdot0{,}5=1\), значит \(2\cdot0{,}5x^2=x^2\);
• \(2\cdot x=2x\);
• \(2\cdot(-4)=-8\).

Получаем:

\[x^2+2x-8=0\]

Почему так можно

Если \(A=B\), то и \(2A=2B\) — равенство сохраняется. Поэтому множество корней у уравнений \(0{,}5x^2+x-4=0\) и \(x^2+2x-8=0\) одно и то же. Проверим на наших корнях:

• \(x=-4\): \(16-8-8=0\) ✓, а в исходном \(0{,}5\cdot16-4-4=8-8=0\) ✓;
• \(x=2\): \(4+4-8=0\) ✓, а в исходном \(0{,}5\cdot4+2-4=2+2-4=0\) ✓.

Второй способ — тот же результат

Можно не умножать, а разделить на \(a=0{,}5\), то есть на \(\dfrac{1}{2}\) — это равносильно умножению на \(2\):

\[\frac{0{,}5x^2}{0{,}5}+\frac{x}{0{,}5}-\frac{4}{0{,}5}=0\ \Rightarrow\ x^2+2x-8=0\]

Общее правило: уравнение \(ax^2+bx+c=0\) при \(a\neq0\) приводят к виду \(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\) — это приведённое квадратное уравнение, к нему удобно применять теорему Виета.

Зачем это делают

С дробным \(a=0{,}5\) дискриминант считается так:

\[D=1^2-4\cdot0{,}5\cdot(-4)=1+8=9\]

А с целыми коэффициентами:

\[D=2^2-4\cdot1\cdot(-8)=4+32=36\]

Хотя \(D\) разный, корни одинаковые — ведь формулы отличаются только умноженным на \(2\) коэффициентом. Целые числа просто меньше шансов ошибиться в счёте.