Решите систему уравнений {5x²-2y²=2, 15x²-6y²=-2y.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
Решите систему уравнений $\begin{cases}5x^2-2y^2=2,\15x^2-6y^2=-2y.\end{cases}$

Теплоход прошёл против течения реки 525 км и вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 8 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 1 км/ч.

Answer

На фото два отдельных задания — решаю оба.

1. Система уравнений

$$
\begin{cases}
5x^2-2y^2=2,\
15x^2-6y^2=-2y.
\end{cases}
$$

Краткий ответ: $(2;-3)$ и $(-2;-3)$.

Ключевые шаги:

1. Замечаем, что левая часть второго уравнения в 3 раза больше левой части первого:
$$
15x^2-6y^2=3(5x^2-2y^2).
$$

2. Из первого уравнения $5x^2-2y^2=2$, поэтому
$$
15x^2-6y^2=3\cdot 2=6.
$$

3. Подставляем это во второе уравнение:
$$
6=-2y \quad\Rightarrow\quad y=-3.
$$

4. Подставляем $y=-3$ в первое уравнение:
$$
5x^2-2\cdot(-3)^2=2,
$$
$$
5x^2-18=2,
$$
$$
5x^2=20,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm 2.
$$

5. Проверка: при $x=\pm2$, $y=-3$ первое уравнение даёт $20-18=2$, второе — $60-54=6=-2\cdot(-3)$. Всё верно.

Ответ: $(2;-3)$, $(-2;-3)$.

2. Задача про теплоход

Краткий ответ: $11{,}5$ км/ч.

Ключевые шаги:

1. Пусть $v$ — скорость теплохода в неподвижной воде, $v>1$. Тогда:
против течения: $v-1$ км/ч;

по течению: $v+1$ км/ч.

2. Время против течения:
$$
\frac{525}{v-1},
$$
время по течению:
$$
\frac{525}{v+1}.
$$

3. На обратный путь (по течению) затрачено на 8 часов меньше:
$$
\frac{525}{v-1}-\frac{525}{v+1}=8.
$$

4. Упрощаем:
$$
525\cdot\frac{(v+1)-(v-1)}{(v-1)(v+1)}=8,
$$
$$
525\cdot\frac{2}{v^2-1}=8,
$$
$$
\frac{1050}{v^2-1}=8,
$$
$$
v^2-1=131{,}25,
$$
$$
v^2=132{,}25,
$$
$$
v=11{,}5
$$
(берём положительный корень, $v>1$).

5. Проверка:
$$
\frac{525}{10{,}5}=50,\qquad \frac{525}{12{,}5}=42,\qquad 50-42=8.
$$
Условие выполняется.

Ответ: $11{,}5$ км/ч.