Постройте график функции y=|4x+1|-x². Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки.

Краткий ответ:
\[ \boxed{m=-\frac{1}{16}\ \text{или}\ m=3} \]

1. Раскрываем модуль

Точка смены знака: \(4x+1=0\), то есть \(x=-\frac14\).

\[ y=|4x+1|-x^2= \begin{cases} -(x+2)^2+3, & x\le -\frac14,\\[2mm] -(x-2)^2+5, & x\ge -\frac14. \end{cases} \]

В точке \(x=-\frac14\) обе части соединяются: \[ y=-\frac{1}{16}. \]

2. Как выглядит график

• Левая часть — парабола ветвями вниз с вершиной \((-2;3)\), берём только \(x\le -\frac14\).
• Правая часть — парабола ветвями вниз с вершиной \((2;5)\), берём только \(x\ge -\frac14\).
• Ветви соединяются в точке \(\left(-\frac14;-\frac{1}{16}\right)\).

Для построения можно взять точки: \[ (-3;2),\ (-2;3),\ (-1;2),\ \left(-\frac14;-\frac{1}{16}\right),\ (0;1),\ (2;5),\ (3;4). \]

3. Сколько точек даёт прямая \(y=m\)

Число пересечений с горизонтальной прямой меняется только на уровнях вершин и «впадины»:

Ровно три точки получаются в двух случаях:

• при \(m=-\frac{1}{16}\): прямая проходит через «впадину» \(\left(-\frac14;-\frac{1}{16}\right)\) и пересекает каждую ветвь ещё по одному разу;
• при \(m=3\): прямая касается левой параболы в её вершине \((-2;3)\) и пересекает правую ветвь в двух точках.

Проверка:

При \(m=3\): \[ x=-2,\quad x=2-\sqrt2,\quad x=2+\sqrt2. \]

При \(m=-\frac{1}{16}\): \[ x=-\frac{15}{4},\quad x=-\frac14,\quad x=\frac{17}{4}. \]

В обоих случаях действительно ровно три общие точки.