Задача Задача №3787156
А
А
1-6
Сверь числа и знаки с фото.
- На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области диаграммы указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятности событий: 1) A; 2) B; 3) A ∪ B; 4) A ∩ B; 5) \(\overline{A} \cup \overline{B}\); 6) \(\overline{A} \cap \overline{B}\). [Рисунок: а) два пересекающихся круга A и B; только A — 21, пересечение — 6, только B — 18, вне кругов — 15. б) два пересекающихся круга A и B; только A — 3, пересечение — 18, только B — 27, вне кругов — 12.]
Для № 221, пункты 1–6.
На каждом рисунке всего \(60\) равновозможных исходов:
- рис. а: \(21+6+18+15=60\);
- рис. б: \(3+18+27+12=60\).
| № | Событие | рис. а | рис. б |
|---|---|---|---|
| 1 | \(A\) | \(\frac{27}{60}=0{,}45\) | \(\frac{21}{60}=0{,}35\) |
| 2 | \(B\) | \(\frac{24}{60}=0{,}40\) | \(\frac{45}{60}=0{,}75\) |
| 3 | \(A\cup B\) | \(\frac{45}{60}=0{,}75\) | \(\frac{48}{60}=0{,}80\) |
| 4 | \(A\cap B\) | \(\frac{6}{60}=0{,}10\) | \(\frac{18}{60}=0{,}30\) |
| 5 | \(\overline{A}\cup\overline{B}\) | \(\frac{54}{60}=0{,}90\) | \(\frac{42}{60}=0{,}70\) |
| 6 | \(\overline{A}\cap\overline{B}\) | \(\frac{15}{60}=0{,}25\) | \(\frac{12}{60}=0{,}20\) |
Ключевые шаги:
- Вероятность события — это доля благоприятных исходов среди всех \(60\).
- Для \(A\) складываем области «только \(A\)» и «\(A\cap B\)»; для \(B\) — «только \(B\)» и «\(A\cap B\)».
- \(A\cup B\) — всё, что попало хотя бы в один круг, то есть все исходы, кроме внешней области.
- \(A\cap B\) — только пересечение кругов.
- По формулам де Моргана: \[ \overline{A}\cup\overline{B}=\overline{A\cap B}, \qquad \overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}. \] Значит, \(P(\overline{A}\cup\overline{B})=1-P(A\cap B)\), а \(P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)\).
Проверка: для рисунка а \(1-0{,}10=0{,}90\) и \(1-0{,}75=0{,}25\) — совпадает с таблицей.
