номер 221 1-6

Question

номер 221
1-6

Расшифровка фото нейросетью:
221. На рисунке изображена диаграмма Эйлера для случайных событий A и B в некотором случайном опыте с равновозможными исходами. В каждой области указано, сколько исходов принадлежит этой области. Найдите вероятности событий: 1) A; 2) B; 3) $A \cup B$; 4) $A \cap B$; 5) $\overline{A} \cup B$; 6) $A \cup \overline{B}$.
а) [Рисунок: прямоугольник; вне кругов — 12; в левой части круга A — 27; в пересечении кругов — 18; в правой части круга B — 3.]
б) [Рисунок: прямоугольник; вне кругов — 15; в левой части круга A — 21; в пересечении кругов — 6; в правой части круга B — 18.]

Answer

Краткий ответ

Для рисунка а):
$$
P(A)=\frac34,\quad P(B)=\frac{7}{20},\quad P(A\cup B)=\frac45,
$$
$$
P(A\cap B)=\frac{3}{10},\quad
P(\overline A\cup B)=\frac{11}{20},\quad
P(A\cup\overline B)=\frac{19}{20}.
$$

Для рисунка б):
$$
P(A)=\frac{9}{20},\quad P(B)=\frac25,\quad P(A\cup B)=\frac34,
$$
$$
P(A\cap B)=\frac{1}{10},\quad
P(\overline A\cup B)=\frac{13}{20},\quad
P(A\cup\overline B)=\frac{7}{10}.
$$

Как считать

Сначала находим общее число равновозможных исходов — складываем числа во всех четырёх областях:

для а): $12+27+18+3=60$;

для б): $15+21+6+18=60$.

Вероятность события равна:

$$
P=\frac{\text{число исходов события}}{60}.
$$

Число $27$ на рисунке а) — это исходы только события $A$, без пересечения. Поэтому для $P(A)$ нужно взять $27+18=45$.

№ |
Событие |
а) вероятность |
б) вероятность |

1 |
$A$ |
$\frac{45}{60}=\frac34=0{,}75$ |
$\frac{27}{60}=\frac{9}{20}=0{,}45$ |

2 |
$B$ |
$\frac{21}{60}=\frac{7}{20}=0{,}35$ |
$\frac{24}{60}=\frac25=0{,}4$ |

3 |
$A\cup B$ |
$\frac{48}{60}=\frac45=0{,}8$ |
$\frac{45}{60}=\frac34=0{,}75$ |

4 |
$A\cap B$ |
$\frac{18}{60}=\frac{3}{10}=0{,}3$ |
$\frac{6}{60}=\frac{1}{10}=0{,}1$ |

5 |
$\overline A\cup B$ |
$\frac{33}{60}=\frac{11}{20}=0{,}55$ |
$\frac{39}{60}=\frac{13}{20}=0{,}65$ |

6 |
$A\cup\overline B$ |
$\frac{57}{60}=\frac{19}{20}=0{,}95$ |
$\frac{42}{60}=\frac{7}{10}=0{,}7$ |

Пункт 5: событие $\overline A\cup B$ — это всё, кроме области «только $A$». Поэтому:
$$
P(\overline A\cup B)=1-P(A\cap\overline B).
$$
Для а): $1-\frac{27}{60}=\frac{33}{60}$. Для б): $1-\frac{21}{60}=\frac{39}{60}$.

Пункт 6: событие $A\cup\overline B$ — это всё, кроме области «только $B$». Поэтому:
$$
P(A\cup\overline B)=1-P(\overline A\cap B).
$$
Для а): $1-\frac{3}{60}=\frac{57}{60}$. Для б): $1-\frac{18}{60}=\frac{42}{60}$.

№	Событие	а) вероятность	б) вероятность
1	\(A\)	\(\frac{45}{60}=\frac34=0{,}75\)	\(\frac{27}{60}=\frac{9}{20}=0{,}45\)
2	\(B\)	\(\frac{21}{60}=\frac{7}{20}=0{,}35\)	\(\frac{24}{60}=\frac25=0{,}4\)
3	\(A\cup B\)	\(\frac{48}{60}=\frac45=0{,}8\)	\(\frac{45}{60}=\frac34=0{,}75\)
4	\(A\cap B\)	\(\frac{18}{60}=\frac{3}{10}=0{,}3\)	\(\frac{6}{60}=\frac{1}{10}=0{,}1\)
5	\(\overline A\cup B\)	\(\frac{33}{60}=\frac{11}{20}=0{,}55\)	\(\frac{39}{60}=\frac{13}{20}=0{,}65\)
6	\(A\cup\overline B\)	\(\frac{57}{60}=\frac{19}{20}=0{,}95\)	\(\frac{42}{60}=\frac{7}{10}=0{,}7\)