23. Катеты прямоугольного треугольника равны √6 и 12. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

На фото три задачи (23–25), поэтому разберу каждую.

Кратко:

• 23. \(h=2{,}4\);
• 24. \(F\) — середина \(BC\);
• 25. \(S=56\sqrt{6}\).

23

Пусть катеты \(a=\sqrt{6}\), \(b=12\), гипотенуза \(c\), а высота к ней \(h\).

Сначала найдём гипотенузу:

\[ c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{6+144}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}. \]

Для прямоугольного треугольника \(h=\dfrac{ab}{c}\), поэтому:

\[ h=\frac{\sqrt{6}\cdot 12}{5\sqrt{6}}=\frac{12}{5}=2{,}4. \]

Ответ: \(2{,}4\).

24

\(AF\) — биссектриса угла \(BAD\), значит

\[ \angle BAF=\angle FAD. \]

Так как \(AD\parallel BC\), то

\[ \angle FAD=\angle AFB. \]

Следовательно, \(\angle BAF=\angle AFB\), и треугольник \(ABF\) равнобедренный:

\[ AB=BF. \]

Аналогично \(DF\) — биссектриса угла \(CDA\), поэтому

\[ \angle CDF=\angle FDA. \]

Из \(AD\parallel BC\) следует

\[ \angle FDA=\angle DFC. \]

Значит, \(\angle CDF=\angle DFC\), и треугольник \(DCF\) равнобедренный:

\[ CD=CF. \]

В параллелограмме противоположные стороны равны: \(AB=CD\). Поэтому

\[ BF=CF. \]

Точка \(F\) лежит на отрезке \(BC\) и делит его пополам, то есть \(F\) — середина \(BC\). Что и требовалось доказать.

25

Пусть основания трапеции равны \(a\) и \(b\), а средняя линия

\[ m=\frac{a+b}{2}=11. \]

Значит,

\[ a+b=22. \]

Продлим основание \(AD\) за точку \(D\) и через \(C\) проведём прямую, параллельную диагонали \(BD\). Пусть она пересечёт продолжение \(AD\) в точке \(E\). Тогда \(BDEC\) — параллелограмм, поэтому

\[ CE=BD=14,\qquad DE=BC. \]

Следовательно,

\[ AE=AD+DE=a+b=22. \]

Треугольник \(ACE\) имеет стороны

\[ 20,\quad 14,\quad 22. \]

Его площадь равна площади трапеции: основание \(AE=a+b\), а высота такая же, как у трапеции.

Найдём площадь по формуле Герона:

\[ p=\frac{20+14+22}{2}=28, \]

\[ S=\sqrt{28(28-20)(28-14)(28-22)} =\sqrt{28\cdot 8\cdot 14\cdot 6} =56\sqrt{6}. \]

Ответ: \(56\sqrt{6}\).