Контрольная работа

Краткие ответы

1. \(1\%=\dfrac{1}{100}=0,01\) — одна сотая часть числа.

2. а) 0,15; б) 0,32; в) 1,12; г) 0,5; д) 0,9. В пунктах г) и д) знака «%» в условии нет, поэтому это уже десятичные дроби; если там всё-таки задуманы \(0,5\%\) и \(0,9\%\), то будет 0,005 и 0,009.

3. а) 12; б) 28 кг; в) 15 см.

4. \(38\cdot 0,3=11,4\) — примерно 11 учеников. Целого числа не получается, так что в условии, видимо, опечатка (при 40 учениках вышло бы ровно 12).

5. а) 2,15; б) 1,01; в) 1,27.

6. \(\dfrac{389}{500}\).

7. \(2\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{3}\), значит \(\dfrac{700}{3}\%=233\dfrac{1}{3}\%\approx 233,3\%\).

8. а) 25%; б) \(\dfrac{1}{7}\approx 14,3\%\).

Как это устроено

Процент — это просто сотая доля, поэтому любая задача сводится к умножению или делению на 100.

Проценты → дробь. Делим на 100 и убираем знак «%»: \[15\%=0,15,\qquad 112\%=1,12,\qquad 215\%=2,15.\] Больше 100% — не страшно, просто дробь получается больше единицы.

Дробь → проценты. Умножаем на 100 и добавляем «%». В №7 сначала переводим смешанное число в неправильную дробь: \[2\frac{1}{3}=\frac{7}{3},\qquad \frac{7}{3}\cdot 100\%=\frac{700}{3}\%=233\frac{1}{3}\%.\]

Процент от числа. Умножаем число на дробь: \[35\%\ \text{от}\ 80\ \text{кг}=80\cdot 0,35=28\ \text{кг},\qquad 5\%\ \text{от}\ 300\ \text{см}=300\cdot 0,05=15\ \text{см}.\] Проверка на глаз: 10% от 300 — это 30, значит 5% — вдвое меньше, то есть 15. Так ответ легко контролировать.

Сколько процентов одно число составляет от другого. Делим часть на целое и умножаем на 100: \[\frac{30}{120}=0,25=25\%,\qquad \frac{10}{70}=\frac{1}{7}\approx 0,1429=14,3\%.\] Смысл: 120 — это 100%, а 30 — какая от него доля? Доля \(0,25\), то есть 25%.

Обратная задача (пригодится дальше): если 30% — это 12 учеников, то всего было \(12:0,3=40\) человек.

№6 подробно: \(77,8\%=\dfrac{77,8}{100}=0,778=\dfrac{778}{1000}=\dfrac{389}{500}\) (сократили на 2). Проверка: \(389:500=0,778\) — сходится.

Все числа и ответы я сверил с листом.