Чыгар

Дептерге жазылуучу түрү:

\[ \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 \]

\[ \frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}=\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \]

\[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

Жообу: \[ \boxed{x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Текшерүү: \[ \sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right) =\sin(\pi n)=0 \] Демек, жооп туура.

Бул жерде эки тарапты тең 2ге көбөйтөбүз:

\[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \]

Эки тарапты тең \(2\)ге көбөйтөбүз:

\[ 2\cdot\frac{x}{2}=2\cdot\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right) \]

Сол жагы кыскарат:

\[ x=2\cdot\frac{\pi}{4}+2\cdot\pi n \]

Эми ар бир мүчөнү эсептейбиз:

\[ 2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2} \]

\[ 2\cdot\pi n=2\pi n \]

Ошондуктан:

\[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

Кыскача: \(\frac{\pi}{4}\) экиге көбөйткөндө \(\frac{\pi}{2}\) болот, ал эми \(\pi n\) экиге көбөйткөндө \(2\pi n\) болот.

Анткени бизге \(x\) өзүн табуу керек, ал эми теңдемеде \(x\) экиге бөлүнгөн түрүндө турат:

\[ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n \]

\(\frac{x}{2}\) дегени —— \(x\)-ти 2ге бөлгөн деген сөз. Бөлүүгө тескери амал — көбөйтүү. Ошондуктан \(x\)-ти бөлүп турган 2ден кутулуу үчүн эки тарапты тең 2ге көбөйтөбүз:

\[ 2\cdot\frac{x}{2}=2\cdot\left(\frac{\pi}{4}+\pi n\right) \]

Ошондо сол жагында:

\[ 2\cdot\frac{x}{2}=x \]

ал эми оң жагында:

\[ x=2\cdot\frac{\pi}{4}+2\cdot\pi n \]

\[ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \]

Жөнөкөй мисал менен айтсак:

\[ \frac{x}{2}=3 \]

деп турса, \(x=6\) болот, анткени \(x\)-ти табуу үчүн 3тү 2ге көбөйтөбүз. Бул жерде да ушундай эле: \(\frac{x}{2}\)-ни \(x\)-ке айландыруу үчүн 2ге көбөйтөбүз.

Кыскача: \(\frac{x}{2}\) бар болгондуктан, \(x\)-ти бөлүп турган 2ден кутулуу үчүн эки тарапты тең 2ге көбөйтөбүз.

Дептерге дароо жазып алуу үчүн:

\[ 2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1 \]

\[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \]

\[ 2x+\frac{\pi}{3}=(-1)^k \arcsin\frac{1}{2}+\pi k,\qquad k\in\mathbb Z \]

\[ 2x+\frac{\pi}{3}=(-1)^k \frac{\pi}{6}+\pi k \]

\[ 2x=(-1)^k \frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3}+\pi k \]

Эки тарапты тең \(2\)ге бөлөбүз:

\[ x=(-1)^k \frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2},\qquad k\in\mathbb Z \]

Жообу: \[ \boxed{x=(-1)^k \frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z} \]

Бул жерде \((-1)^k\) деген — \(\arcsin\) формуласындагы жалпы жазылыш, \(k\) — бүтүн сан. Ошентип дептерге көчүрүп жазсаңыз болот.

Дептерге жазылуучу түрү:

\[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2} \]

\[ x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4} \]

Демек:

\[ x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

Жообу: \[ \boxed{x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Же эки бөлөк түрүндө жазса да болот:

\[ \boxed{x_1=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Эки жазуу тең туура.

Анткени \(\arcsin\) — бул «синусу берилген санга барабар болгон бурчту» табуу амалы.

Бизде:

\[ \sin x=\frac{\sqrt2}{2} \]

\(\frac{\sqrt2}{2}\) кайсы бурчтун синусу экенин карайбыз. Бул — \(45^\circ\) бурч, радиан менен:

\[ 45^\circ=\frac{\pi}{4} \]

Текшерүү:

\[ \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2} \]

Ошондуктан:

\[ \arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4} \]

Дептерге:

\[ \arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4} \]

\[ x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

Кыскача: \(\frac{\pi}{4}\) дегени \(45^\circ\) бурч, ал эми \(\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\). Ошондуктан \(\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}\).

Кыскача: эки «2» эки башка себептен «жоголуп» турат — экөөнү тең көрсөтөм.

1) Эмне үчүн жоопто \(\pi n\) бар, ал эми бөлүп жазганда \(2\pi n\) болуп калат

\[ x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n \]

Бул жазуу эки топтомду бириктирип турат. \(n\)-дин ордуна жуп жана так сандарды коёбуз:

• \(n=2k\) (жуп) болгондо \((-1)^{2k}=1\): \[ x=\frac{\pi}{4}+2\pi k \]

• \(n=2k+1\) (так) болгондо \((-1)^{2k+1}=-1\): \[ x=-\frac{\pi}{4}+\pi(2k+1)=-\frac{\pi}{4}+\pi+2\pi k=\frac{3\pi}{4}+2\pi k \]

Ошентип, бөлүп жазганда \(\pi n\) эки жерде тең \(2\pi k\)-га айланат — ошол «2»лер ошондон пайда болот. Ал эми \(\frac{3\pi}{4}\) дегени \(\pi-\frac{\pi}{4}\), башкача айтканда \(180^\circ-45^\circ=135^\circ\).

2) Эгер сиз мурунку \(2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1\) теңдемесиндеги 2лерди айтып жатсаңыз

• \(\sin\)-дын алдындагы \(2\) — эки тарапты тең 2ге бөлгөндө кетти: \[ 2\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=1 \;\Rightarrow\; \sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \]
• \(2x\)-теги \(2\) — акыркы кадамда эки тарапты 2ге бөлгөндө жооптун ичине «бөлүү» түрүндө өттү: \[ x=(-1)^k\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi k}{2} \]

Кайсы теңдемедеги 2ни тактап айтсаңыз, ошону гана кадам-кадам менен жазып берем.

Дептерге жазылуучу түрү:

\[ 2\sin x=-\sqrt2 \]

\[ \sin x=-\frac{\sqrt2}{2} \]

\[ x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4} \]

\[ x=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\pi n \]

Жообу: \[ \boxed{x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Же эки бөлөк түрүндө:

\[ \boxed{x_1=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\qquad x_2=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Текшерүү: \[ \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad \sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}. \] Демек, жооп туура.

Кыскача: \(\sin x\)-тин алдындагы \(2\) — эки тарапты тең \(2\)ге бөлгөндө кетти, ал эми минус белгиси \((-1)^{n+1}\) түрүндө жазылат.

Бул — ушул эле тригонометриялык теңдемелер темасынын уландысы, 5-мисал.

Дептерге жазылуучу түрү:

\[ \sin 2x=\frac{1}{2} \]

\[ 2x=(-1)^n\arcsin\frac{1}{2}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \]

\[ 2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n \]

Эки тарапты тең \(2\)ге бөлөбүз:

\[ x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z \]

Жообу: \[ \boxed{x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z} \]

Же эки бөлөк түрүндө:

\[ \boxed{x_1=\frac{\pi}{12}+\pi n,\qquad x_2=\frac{5\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Текшерүү: \[ \sin\left(2\cdot\frac{\pi}{12}\right)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}, \] \[ \sin\left(2\cdot\frac{5\pi}{12}\right)=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}. \]

Демек, жооп туура.

Бул — ошол эле тригонометриялык теңдемелер тизмесинин уландысы, 6-мисал.

Дептерге жазылуучу түрү:

\[ 2\sin 2x=-1 \]

\[ \sin 2x=-\frac{1}{2} \]

\[ 2x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6} \]

\[ 2x=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\pi n \]

\[ 2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n \]

Эки тарапты тең \(2\)ге бөлөбүз:

\[ \boxed{x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z} \]

Же эки бөлөк түрүндө:

\[ \boxed{x_1=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\qquad x_2=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Текшерүү: \[ \sin\left(2\cdot\frac{7\pi}{12}\right)=\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac{1}{2}, \qquad \sin\left(2\cdot\left(-\frac{\pi}{12}\right)\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}. \]

Демек, жооп туура.

Негизги жообу (дептерге жаза турган):

\[ \boxed{x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z} \]

Бул — негизги, кыска жооп. Калган жазуу:

\[ x_1=-\frac{\pi}{12}+\pi n,\qquad x_2=\frac{7\pi}{12}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z \]

— ошол эле жооптун экинчи түрү, алар тең күчтүү. Демек, экөөнүн кайсынысын жазсаңыз да туура болот; сынакта көбүнчө биринчи (кыска) түрү талап кылынат.

Бул — ошол эле тригонометриялык теңдемелер тизмесинин уландысы, 7-мисал: \(\sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2}\).

Дептерге жазылуучу түрү:

\[ \sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2} \]

\[ \frac{x}{2}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3} \]

\[ \frac{x}{2}=(-1)^n\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\pi n \]

\[ \frac{x}{2}=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n \]

Эки тарапты тең \(2\)ге көбөйтөбүз:

\[ \boxed{x=(-1)^{n+1}\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Же эки бөлөк түрүндө:

\[ \boxed{x_1=-\frac{2\pi}{3}+4\pi n,\qquad x_2=\frac{8\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Текшерүү: \[ \sin\left(\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}, \] \[ \sin\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{8\pi}{3}\right)=\sin\frac{4\pi}{3}=-\frac{\sqrt3}{2}. \]

Демек, жооп туура.

Кыскача: \(\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}\), анткени \(\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\), ал эми минус белги \((-1)^{n+1}\) түрүндө чыгат. Акырында \(\frac{x}{2}\)-ден кутулуу үчүн эки тарапты 2ге көбөйтөбүз — ошондон \(\frac{2\pi}{3}\) жана \(2\pi n\) пайда болот.

7-мисал.

\[ \sin\frac{x}{2}=-\frac{\sqrt3}{2} \]

\[ \frac{x}{2}=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3} \]

\[ \frac{x}{2}=(-1)^n\cdot\left(-\frac{\pi}{3}\right)+\pi n \]

\[ \frac{x}{2}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{\pi}{3}+\pi n \]

\[ x=(-1)^{n+1}\cdot\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

Жообу: \[ \boxed{x=(-1)^{n+1}\cdot\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Дептерге ушунун өзүн гана көчүрүп жазсаңыз болот: жогорку саптарды удаалаш жазып, акырында жоопту рамкага алыңыз.

Бул — ошол эле теманын уландысы, 10-мисал.

10-мисал.

\[ \sin x=-0{,}25 \]

\[ \sin x=-\frac{1}{4} \]

\[ x=(-1)^n\arcsin\left(-\frac{1}{4}\right)+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

\[ x=(-1)^n\cdot\left(-\arcsin\frac{1}{4}\right)+\pi n \]

\[ x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{4}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z \]

Жообу: \[ \boxed{x=(-1)^{n+1}\arcsin\frac{1}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z} \]

Эскертүү: бул жерде \(\arcsin\frac14\) «сулуу» бурч эмес (\(0{,}25\) таблицадагы сандарга кирбейт), ошондуктан жооп \(\arcsin\) аркылуу калтырылат. Жакшалык үчүн болжолдуу маанисин жазса болот:

\[ \arcsin\frac{1}{4}\approx 0{,}2527 \text{ рад}\approx 14{,}5^\circ. \]

Дептерге жогорку саптарды удаалаш көчүрүп, акырында рамкадагы жоопту жазсаңыз болот.