Найти периметр ортотреугольника для треугольника `ABC`, в котором `AB=BC=5` и `AC=4`.

Краткий ответ:
\[ P_{\text{ортотреугольника}}=\frac{168}{25}=6{,}72. \]

Как это получить

Пусть \(D,E,F\) — основания высот, проведённых соответственно из \(A,B,C\). Тогда \(DEF\) — ортотреугольник.

Для остроугольного треугольника его стороны выражаются так: \[ EF=a\cos A,\qquad FD=b\cos B,\qquad DE=c\cos C, \] где \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\).

Покажем это для \(EF\). Точки \(E\) и \(F\) лежат на сторонах \(AC\) и \(AB\). Тогда \[ AE=c\cos A,\qquad AF=b\cos A. \] По теореме косинусов в треугольнике \(AEF\): \[ EF^2=(c\cos A)^2+(b\cos A)^2-2bc\cos^2 A\cos A. \] То есть \[ EF^2=\cos^2 A\,(b^2+c^2-2bc\cos A)=a^2\cos^2 A. \] Поэтому \(EF=a\cos A\). Остальные формулы получаются аналогично.

В нашем треугольнике: \[ a=BC=4,\qquad b=CA=5,\qquad c=AB=5. \] Находим косинусы: \[ \cos A=\frac{5^2+5^2-4^2}{2\cdot5\cdot5} =\frac{34}{50}=\frac{17}{25}, \] \[ \cos B=\frac{4^2+5^2-5^2}{2\cdot4\cdot5} =\frac{16}{40}=\frac25, \] \[ \cos C=\frac{4^2+5^2-5^2}{2\cdot4\cdot5} =\frac25. \]

Тогда стороны ортотреугольника: \[ EF=4\cdot\frac{17}{25}=\frac{68}{25}, \] \[ FD=5\cdot\frac25=2, \] \[ DE=5\cdot\frac25=2. \]

Следовательно, \[ P=EF+FD+DE =\frac{68}{25}+2+2 =\frac{168}{25}=6{,}72. \]

Ответ: \(6{,}72\).