111*. (x+3)(x−5)+(x+3)(x−3)=0. 112*. (x−8)(2x−6)−(x−8)(x+1)=0. 113*. (x+4)²(x−5)+(x+4)(x−5)²=0. 114*. (x−7)²(x+6)−(x−7)(x+6)²=0.

На фото четыре однотипных уравнения. Разберу все.

Кратко

• 111: \(x=-3\) или \(x=4\);
• 112: \(x=7\) или \(x=8\);
• 113: \(x=-4\), \(x=\frac{1}{2}\) или \(x=5\);
• 114: \(x=-6\) или \(x=7\).

Принцип

Если произведение равно нулю, то хотя бы один множитель равен нулю. В каждом уравнении есть общий множитель-скобка: выносим его и приравниваем каждый множитель к нулю. Не сокращай уравнение на скобку с \(x\) — вместе с ней можно потерять корень.

111 \[ (x+3)(x-5)+(x+3)(x-3) =(x+3)\bigl((x-5)+(x-3)\bigr) =(x+3)(2x-8)=0. \] Значит, \(x+3=0\) или \(2x-8=0\): \[ x=-3 \quad \text{или} \quad x=4. \]

112 \[ (x-8)(2x-6)-(x-8)(x+1) =(x-8)\bigl((2x-6)-(x+1)\bigr) =(x-8)(x-7)=0. \] Отсюда: \[ x=8 \quad \text{или} \quad x=7. \]

113 \[ (x+4)^{2}(x-5)+(x+4)(x-5)^{2} =(x+4)(x-5)\bigl((x+4)+(x-5)\bigr) =(x+4)(x-5)(2x-1)=0. \] Корни: \[ x=-4,\qquad x=5,\qquad x=\frac{1}{2}. \]

114 \[ (x-7)^{2}(x+6)-(x-7)(x+6)^{2} =(x-7)(x+6)\bigl((x-7)-(x+6)\bigr) =(x-7)(x+6)(-13)=0. \] Так как \(-13\neq 0\), остаются только: \[ x=7 \quad \text{или} \quad x=-6. \] Третьего корня здесь нет: после вынесения общего множителя в скобках остаётся число, а не выражение с \(x\).

Проверка

Подстановка корней даёт ноль. Например, в 111 при \(x=4\): \[ 7\cdot(-1)+7\cdot1=0. \] В 113 корень \(x=\frac12\) обращает в ноль множитель \(2x-1\), а в 114 корни \(7\) и \(-6\) обнуляют множители \((x-7)\) и \((x+6)\).