Вычислить: 1. 5·(√7)²; 2. 3√5·2√5; 3. (2√17)²; 4. (4√2)²/16; 5. 13/(2√13)²; 6. (√10)²·12; 7. √3·7√3; 8. (5√2)²; 9. (7√14)²/7; 10. 144/(4√12)²;

Краткий ответ: 35; 30; 68; 2; \(\frac{1}{4}\); 120; 21; 50; 98; \(\frac{3}{4}\); 70; 19; 675; 168; 5.

Почему так. Для \(a\ge0\) выполняется \((\sqrt{a})^2=a\). Если перед корнем есть множитель \(b\), то \((b\sqrt{a})^2=b^2a\). Произведение одинаковых корней даёт подкоренное число: \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a\). В дробях сначала считаем знаменатель, затем сокращаем.

Вычисления по порядку:

1. \(5\cdot(\sqrt{7})^2=5\cdot7=35\)
2. \(3\sqrt{5}\cdot2\sqrt{5}=3\cdot2\cdot5=30\)
3. \((2\sqrt{17})^2=2^2\cdot17=68\)
4. \(\frac{(4\sqrt{2})^2}{16}=\frac{16\cdot2}{16}=2\)
5. \(\frac{13}{(2\sqrt{13})^2}=\frac{13}{4\cdot13}=\frac{1}{4}\)
6. \((\sqrt{10})^2\cdot12=10\cdot12=120\)
7. \(\sqrt{3}\cdot7\sqrt{3}=7\cdot3=21\)
8. \((5\sqrt{2})^2=25\cdot2=50\)
9. \(\frac{(7\sqrt{14})^2}{7}=\frac{49\cdot14}{7}=98\)
10. \(\frac{144}{(4\sqrt{12})^2}=\frac{144}{16\cdot12}=\frac{3}{4}\)
11. \(14\cdot(\sqrt{5})^2=14\cdot5=70\)
12. \(\sqrt{19}\cdot\sqrt{19}=19\)
13. \((15\sqrt{3})^2=225\cdot3=675\)
14. \(\frac{(28\sqrt{3})^2}{14}=\frac{784\cdot3}{14}=168\)
15. \(\frac{55}{(\sqrt{11})^2}=\frac{55}{11}=5\)

Проверка. В №5: \(4\cdot13=52\), \(13:52=\frac{1}{4}\). В №14: \(28^2=784\), \(784:14=56\), \(56\cdot3=168\). В №10: \(16\cdot12=192\), \(144:192=\frac{3}{4}\). Всё сходится: после возведения корня в квадрат остаются обычные числа.