1. Соединить линиями части фраз, соответствующие друг другу.
Реши задание на изображении
Сверь числа и знаки с фото.
Соединить линиями части фраз, соответствующие друг другу. Если ABCD — четырёхугольник, у которого один из углов прямой, то... Если ABCD — параллелограмм, у которого диагонали равны, то... Если ABCD — четырёхугольник, у которого диагонали равны, то... Если ABCD — параллелограмм, у которого один из углов прямой, то... ABCD — прямоугольник
Заполнить пропуски. а) Ромбом называется ______, у которого ______. б) Если у ______ диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ______.
Поставить знак «+» рядом с верным высказыванием. ☐ а) Квадратом называется прямоугольник, у которого стороны равны. ☐ б) Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом. ☐ в) Квадратом называется параллелограмм, у которого углы равны.
Даны параллелограммы. [Рисунок: четыре параллелограмма с проведёнными диагоналями, пронумерованы 1), 2), 3), 4).] Выписать номера фигур, которые являются: а) прямоугольником, но не квадратом; б) ромбом, но не квадратом; в) квадратом.
Даны параллелограммы: 1) прямоугольник; 2) ромб; 3) квадрат. Рядом с каждым свойством записать номер параллелограмма, для которого оно выполняется. ___ а) Диагонали равны. ___ б) Диагонали перпендикулярны. ___ в) Диагонали являются биссектрисами углов. ___ г) Диагонали равны и перпендикулярны. ___ д) Диагонали равны и являются биссектрисами углов.
Точка M является внутренней точкой прямоугольника ABCD, периметр которого равен 18 см. Найти сумму расстояний от M до всех сторон прямоугольника. Подчеркнуть верный ответ: а) 8 см; б) 9 см; в) 36 см; г) 4,5 см.
В прямоугольнике один из углов, образованных диагоналями, равен 120°. Найти меньшую сторону прямоугольника, если его диагональ равна 12 см. (Подчеркнуть верный ответ.) а) 6 см; б) 12 см; в) 18 см; г) 3 см.
ABCD — ромб, ∠BAD = 126°. Найти углы треугольника ABC и подчеркнуть верный ответ: а) 27°, 27°, 126°; б) 54°, 63°, 63°; в) 34°, 54°, 72°. [Рисунок: ромб ABCD, проведена диагональ AC.]
ABCD — квадрат. Найти углы треугольника COD. [Рисунок: квадрат ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O.]
Определите вид четырёхугольника MNKP, если MK и NP — диаметры одной окружности. Подчеркнуть верный ответ: а) прямоугольник; б) ромб; в) квадрат.
Определите вид параллелограмма, у которого две соседние стороны равны. Подчеркнуть верный ответ: а) прямоугольник; б) ромб; в) квадрат.
Один из углов ромба равен 120°, а диагональ, выходящая из вершины этого угла, равна 5 см. Найти сторону ромба. [Рисунок: ромб с вершинами M сверху, K слева, N справа; проведена диагональ из M.]
Сначала — ответы, ниже — короткие пояснения.
Соединить с надписью «ABCD — прямоугольник» нужно 2-ю и 4-ю строки.
а) Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
б) Если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то он является ромбом.Ставим «+»: а) и б).
В) неверно: из равенства углов параллелограмма следует, что он прямоугольник, но не обязательно квадрат.а) 3; б) 4; в) 2.
То есть: 1 — обычный параллелограмм, 2 — квадрат, 3 — прямоугольник, 4 — ромб.Учитываем, что квадрат — частный случай и прямоугольника, и ромба:
а) 1, 3; б) 2, 3; в) 2, 3; г) 3; д) 3.б) 9 см.
а) 6 см.
б) 54°, 63°, 63°.
Углы треугольника \(COD\): \(90^\circ, 45^\circ, 45^\circ\).
а) прямоугольник.
б) ромб.
5 см.
Пояснения
1. В параллелограмме:
- равные диагонали дают прямоугольник;
- один прямой угол тоже даёт прямоугольник.
Для произвольного четырёхугольника эти условия недостаточны: с одним прямым углом или равными диагоналями он не обязан быть прямоугольником.
2. Это определения и признак ромба.
3.
- а) прямоугольник со всеми равными сторонами — квадрат;
- б) ромб с равными диагоналями — квадрат;
- в) если у параллелограмма все углы равны, то это прямоугольник, но стороны могут быть неравны.
4. В параллелограмме:
- равные диагонали — признак прямоугольника;
- перпендикулярные диагонали — признак ромба;
- одновременно равные и перпендикулярные — признак квадрата.
6. Пусть стороны прямоугольника \(a\) и \(b\). Сумма расстояний от внутренней точки до всех сторон равна \(a+b\).
Периметр:
\[
2(a+b)=18,\qquad a+b=9.
\]
Ответ: \(9\) см.
7. Диагональ \(12\) см, половина диагонали \(6\) см. Острый угол между диагоналями: \[ 180^\circ-120^\circ=60^\circ. \] Меньшая сторона лежит против угла \(60^\circ\) в треугольнике со сторонами \(6,6\): \[ x^2=6^2+6^2-2\cdot6\cdot6\cos60^\circ=36, \] \[ x=6\text{ см}. \]
8. В ромбе соседние углы в сумме дают \(180^\circ\): \[ \angle ABC=180^\circ-126^\circ=54^\circ. \] Диагональ \(AC\) делит угол \(126^\circ\) пополам: \[ 126^\circ:2=63^\circ. \] Значит, углы треугольника \(ABC\): \(54^\circ,63^\circ,63^\circ\).
9. Диагонали квадрата перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. В треугольнике \(COD\): \[ \angle COD=90^\circ, \] а два других угла равны: \[ (180^\circ-90^\circ):2=45^\circ. \]
10. Диаметры одной окружности равны и делятся точкой пересечения пополам. Значит, диагонали четырёхугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому это прямоугольник.
11. Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то равны и все его стороны, то есть это ромб.
12. Пусть сторона ромба \(a\). Диагональ, выходящая из угла \(120^\circ\), отсекает треугольник с двумя сторонами \(a\) и углом \(60^\circ\) между ними. По теореме косинусов: \[ d^2=a^2+a^2-2a^2\cos60^\circ=a^2, \] поэтому \(d=a\). Дано \(d=5\) см, значит сторона ромба тоже \(5\) см.
