1) В треугольнике АВС сторона АВ в 1,5 раза меньше стороны ВС, а сторона АС на 4 см больше АВ. Периметр треугольника АВС равен 32 см. Доказать, что такой треугольник существует.

Question

Реши задание на изображении

Расшифровка фото нейросетью:
ГЕОМЕТРИЯ :

1. В треугольнике АВС сторона АВ в 1,5 раза меньше стороны ВС, а сторона АС на 4 см больше АВ. Периметр треугольника АВС равен 32 см. Доказать, что такой треугольник существует. Найдите длины всех трёх сторон.

2. Отрезки MN и KP пересекаются в точке О, которая является серединой отрезка KP. Известно, что угол МКО = углу NPO = 90градусов.
а) Докажите, что треугольник МКО = треугольнику NPO.
б) Найдите углы треугольника NPO, если в треугольнике МКО угол КМО = [обрезано]

Answer

Краткий ответ

1. $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $AC = 12$ см; такой треугольник существует.

2. а) $\triangle MKO = \triangle NPO$ по стороне и двум прилежащим углам.
б) В $\triangle NPO$: $\angle NPO = 90^\circ$, $\angle PNO = \angle KMO$, $\angle NOP = 90^\circ - \angle KMO$. Значение $\angle KMO$ в кадре обрезано, поэтому численный ответ пока не подставляю.

1. Как найти стороны

Пусть $AB = x$ см. Фраза «$AB$ в 1,5 раза меньше $BC$» означает, что $BC$ больше $AB$ в 1,5 раза, то есть $BC = 1{,}5x$. Тогда $AC = x + 4$.

Периметр:
$$
x + 1{,}5x + (x + 4) = 32
$$
$$
3{,}5x = 28, \qquad x = 8.
$$

Значит,
$$
AB = 8\ \text{см}, \quad BC = 1{,}5 \cdot 8 = 12\ \text{см}, \quad AC = 8 + 4 = 12\ \text{см}.
$$

Проверка: $8 + 12 + 12 = 32$ см — периметр сходится. Неравенство треугольника: $8 + 12 = 20 > 12$ и $12 + 12 = 24 > 8$, поэтому треугольник с такими сторонами действительно существует.

2. Равенство треугольников и углы

а) В треугольниках $MKO$ и $NPO$:

$\angle MKO = \angle NPO = 90^\circ$ — по условию;

$KO = OP$, так как $O$ — середина $KP$;

$\angle MOK = \angle NOP$ — вертикальные углы.

Сторона $KO$ лежит между углами $\angle MKO$ и $\angle MOK$, а сторона $OP$ — между углами $\angle NPO$ и $\angle NOP$. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам:
$$
\triangle MKO = \triangle NPO.
$$

б) В равных треугольниках соответственные элементы равны, причём $M \leftrightarrow N$, $K \leftrightarrow P$, $O \leftrightarrow O$. Поэтому
$$
\angle PNO = \angle KMO, \qquad \angle NPO = \angle MKO = 90^\circ.
$$

В прямоугольном $\triangle MKO$ сумма острых углов равна $90^\circ$:
$$
\angle KMO + \angle MOK = 90^\circ.
$$
Но $\angle NOP = \angle MOK$, значит,
$$
\angle NOP = 90^\circ - \angle KMO.
$$

Если обозначить $\angle KMO = \alpha$, то углы $\triangle NPO$ равны $90^\circ$, $\alpha$ и $90^\circ - \alpha$. Их сумма $180^\circ$ — проверка выполнена.

Что запомнить: в задачах на периметр обозначай меньшую сторону через $x$ и выражай остальные через неё; после нахождения сторон проверяй неравенство треугольника. Для доказательства равенства треугольников ищи три пары равных элементов — здесь сработал второй признак: сторона и два прилежащих угла.

Нижняя строка со значением $\angle KMO$ обрезана. Пришли её крупнее — подставлю число и назову точные углы.