16. а) Для каждого значения параметра a найдите корни уравнения arcsin((a − 1)x − 1 − (a − 1)x^2) + arcsin x = 0.

Краткий ответ: \[ \begin{cases} a\le 0: & x=1,\quad x=\dfrac{1}{a-1};\\[4pt] 0<a\le 2: & x=1;\\[4pt] a>2: & x=1,\quad x=\dfrac{1}{a-1}. \end{cases} \] При \(a=2\) вторая формула даёт тот же корень \(x=1\).

Как решать:

Обозначим \[ t=(a-1)x-1-(a-1)x^2. \] Тогда уравнение имеет вид \[ \arcsin t+\arcsin x=0. \] Функция \(\arcsin\) нечётная и строго возрастает на \([-1;1]\), поэтому \[ \arcsin t=-\arcsin x=\arcsin(-x) \quad\Longrightarrow\quad t=-x. \] Получаем: \[ (a-1)x-1-(a-1)x^2=-x. \] Перенесём всё в одну часть и разложим на множители: \[ (1-x)\bigl((a-1)x-1\bigr)=0. \] Отсюда: \[ x=1 \qquad\text{или}\qquad (a-1)x=1. \]

Корень \(x=1\) подходит всегда. Второй корень \[ x=\frac{1}{a-1} \] существует при \(a\ne1\) и должен лежать в области определения арксинуса: \[ -1\le \frac{1}{a-1}\le1. \] Это выполняется при \[ a\le0 \quad\text{или}\quad a\ge2. \] При \(a=2\) второй корень совпадает с \(x=1\), поэтому нового корня нет.

Проверка: при \(x=1\) первый аргумент арксинуса равен \(-1\), и \[ \arcsin(-1)+\arcsin 1=-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=0. \] Для второго корня получаем \(t=-x\), поэтому сумма арксинусов тоже равна нулю.