18. а) Найдите все значения параметра a, для каждого из которых уравнение (2a+1)x²−2(a+5)x+18a+9 / (x²−5x+9)=3a имеет хотя бы один корень.

Краткий ответ: \[ a\in\left(-\infty;\frac47\right]\cup\left[\frac{16}{19};+\infty\right). \]

Почему так

1. Знаменатель ни при каком \(x\) не равен нулю: \[ x^2-5x+9>0, \] так как его дискриминант \(25-36=-11<0\). Поэтому можно умножить обе части уравнения на знаменатель без потери корней.

2. После умножения и приведения подобных: \[ (2a+1)x^2-2(a+5)x+18a+9=3a(x^2-5x+9), \] \[ (1-a)x^2+(13a-10)x+9(1-a)=0. \]

3. Отдельно проверяем \(a=1\). Тогда получается \[ 3x=0, \] то есть \(x=0\). Значит, \(a=1\) подходит.

4. Если \(a\ne1\), это квадратное уравнение. Оно имеет хотя бы один действительный корень, когда дискриминант неотрицателен: \[ D=(13a-10)^2-4(1-a)\cdot 9(1-a). \] \[ D=133a^2-188a+64=(19a-16)(7a-4). \]

Нужно: \[ (19a-16)(7a-4)\ge0. \] Корни этого неравенства: \[ a=\frac{16}{19},\qquad a=\frac47. \] Поэтому \[ a\le\frac47 \quad\text{или}\quad a\ge\frac{16}{19}. \]

Случай \(a=1\) уже входит во второй промежуток.

Проверка: при \(a=0\), например, получается уравнение \[ x^2-10x+9=0, \] у него есть корни \(1\) и \(9\), значит, \(a=0\) действительно подходит.