20. а) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 16^x + (3a² + 5a + 7) · 4^x − 2a + 3 = 0 имеет единственный корень.

Ответ:
\[ a\in\left(\frac32;+\infty\right). \]

Разбор

Сделаем замену \[ t=4^x. \] Так как \(4^x>0\) при любом \(x\), получаем \(t>0\). Каждому положительному \(t\) соответствует ровно один \(x=\log_4 t\). Поэтому исходное уравнение должно иметь ровно один положительный корень относительно \(t\): \[ t^2+(3a^2+5a+7)t-2a+3=0. \]

Обозначим \[ f(t)=t^2+(3a^2+5a+7)t-2a+3. \] Коэффициент при \(t\) всегда положителен: \[ 3a^2+5a+7=3\left(a+\frac56\right)^2+\frac{59}{12}>0. \] Значит, при \(t>0\) \[ f'(t)=2t+(3a^2+5a+7)>0, \] то есть \(f(t)\) возрастает на промежутке \(t>0\). Поэтому положительный корень существует ровно один тогда и только тогда, когда \[ f(0)<0. \] Иными словами, \[ -2a+3<0 \quad\Longleftrightarrow\quad a>\frac32. \]

При \(a=\frac32\) получаем \(f(0)=0\), но \(t=4^x=0\) невозможно, поэтому этот случай не подходит.

Следовательно, \[ \boxed{a>\frac32}. \]