25. а) Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство a log₃² x − (a−2) log₃ x − 2 ≥ 0 имеет единственное решение.

Краткий ответ: \(\boxed{a=-2}\).

Решение

Пусть \[ t=\log_3 x. \] Так как \(x>0\), величина \(t\) принимает все действительные значения, причём каждому \(t\) соответствует ровно одно \(x=3^t\). Поэтому «единственное решение \(x\)» равносильно «единственному решению \(t\)».

Перепишем неравенство: \[ a\log_3^2 x-(a-2)\log_3 x-2\geqslant 0 \] как \[ at^2-(a-2)t-2\geqslant 0. \] Левая часть раскладывается на множители: \[ at^2-(a-2)t-2=(t-1)(at+2). \]

Если \(a=0\), получаем \[ 2(t-1)\geqslant 0, \] то есть \(t\geqslant 1\) — решений бесконечно много.

Пусть \(a\ne 0\). Тогда корни выражения: \[ t_1=1,\qquad t_2=-\frac{2}{a}. \] При различных корнях решением квадратного неравенства будет промежуток или объединение промежутков, то есть бесконечно много значений \(t\). Единственное решение возможно только тогда, когда корни совпадают: \[ -\frac{2}{a}=1, \] откуда \[ a=-2. \]

Проверка: при \(a=-2\) неравенство имеет вид \[ -2t^2+4t-2\geqslant 0, \] то есть \[ -2(t-1)^2\geqslant 0. \] Квадрат неположителен только при \(t=1\). Тогда \(x=3^1=3\) — действительно одно решение.

Ответ: \(a=-2\).