26. a) Найдите все значения параметра a, для каждого из которых система уравнений

Краткий ответ:
\[ a=-\frac{3}{10}. \]

Как рассуждать

Из первого уравнения: \[ x-3y=-1. \] Введём замену \[ t=x+3y. \] Если выразить \(x=3y-1\), то \[ t=x+3y=6y-1. \] Поэтому каждому значению \(t\) соответствует ровно одна пара \((x;y)\), лежащая на прямой \(x-3y=-1\).

Теперь преобразуем второе уравнение: \[ x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2=t^2, \] \[ -10ax-30ay=-10a(x+3y)=-10at. \] Получаем квадратное уравнение относительно \(t\): \[ t^2-10at+125a^2+60a+9=0. \]

Система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда это уравнение имеет единственный действительный корень. Для квадратного уравнения это означает, что дискриминант равен нулю: \[ D=(-10a)^2-4(125a^2+60a+9). \] Считаем: \[ D=100a^2-500a^2-240a-36 =-400a^2-240a-36 =-4(10a+3)^2. \]

Так как \[ -4(10a+3)^2\le 0, \] дискриминант может быть равен нулю только при \[ 10a+3=0, \] то есть \[ a=-\frac{3}{10}. \]

При остальных значениях \(a\) дискриминант отрицателен, значит, решений нет. При \(a=-\frac{3}{10}\) получается один корень \(t=-\frac32\), а ему соответствует одна пара \((x;y)\).

Ответ: \(\displaystyle a=-\frac{3}{10}\).